选修1-1 3.3.2 函数的极值与导数 习题课

3.3.2函数的极值与导数习题课•若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝______；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．1.极小值点与极小值0f′(x)0f′(x)0复习回顾2.极大值点与极大值•若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点的函数值都大，f′(b)＝____；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．f′(x)00f′(x)01．对函数极值概念的理解：(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．...)(.40)(.3)(.2.1'''极小值左负，右正极大值如果左正，右负号在方程根左右的值的符检查的全部实根；求；求函数确定函数的定义域；xfxfxf2、求可导函数极值的步骤：注意：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件；2、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.练习1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①②B．①④C．②③D．③④解析：由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)0，x＝－3是函数f(x)的极值点，①④正确．答案：B•求函数的极值求下列函数的极值：[思路点拨]先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f′(x)＝0，列表分析，求出函数的极值．(1)f(x)＝13x3－x2－3x；(2)f(x)＝x4－4x3＋5；(3)f(x)＝lnxx.合作探究课堂互动解析：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增当x＝－1时，f(x)有极大值.当x＝3时，f(x)有极小值－9.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)不是极值极小值(2)因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.(3)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝1－lnxx2＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝1e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值求下列函数的极值：f(x)＝x3－12x；解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.•已知函数极值求参数设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．[思路点拨]求f′x―→f1＝－1，f′1＝0―→建立关于a，b的方程组―→求解a，b―→验证―→求极值说明：若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，则－1,1是方程f′(x)＝0的根，即有－1＋1＝－2b3a，－1＝c3a，⇒b＝0，c＝－3a.又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1.由上述三个方程便可解得a＝12，b＝0，c＝－32，此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.∴f′(x)＝32x2－32.由题意知，x＝±1是f′(x)＝0的根．根据x＝±1列表分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且f(－1)＝1；当x＝1时，函数有极小值，且f(1)＝－1.x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值1减极小值－1增2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值．求这个极小值及a，b，c的值．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.据题意，－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，由根与系数的关系得－1＋3＝－2a3，－1×3＝b3，∴a＝－3，b＝－9.∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.∵f(－1)＝7，∴c＝2，极小值f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.∴极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.•极值的综合应用已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.5分由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.7分(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根.12分3．将本例中(2)改为：①f(x)＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根．求实数a的取值范围．解析：由题意知，①若f(x)＝0恰有三个实数根，如图(1)，则有：a－20a＋20，解得－2a2.②若f(x)＝0恰有一个实数根，如图(2)则有：a－20，解得a2，或a＋20，解得a－2.故①－2a2时，f(x)＝0恰有三个实数根．②a2，或a－2时，f(x)＝0只有一个实数根．