历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．已知2阶行列式mbbaa2121，nccbb2121，则221121cacabb（B）A．nmB．mnC．nmD．)(nmmnnmccbbaabbcacabb21212121221121．2．设A,B,C均为n阶方阵，BAAB，CAAC，则ABC（D）A．ACBB．CABC．CBAD．BCABCACABACBCBACABABC)()()()(．3．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且1||A，2||B，则行列式||||AB之值为（A）A．8B．2C．2D．88||)2(|2|||||3AAAB．4．333231232221131211aaaaaaaaaA，333231232221131211333aaaaaaaaaB，100030001P，100013001Q，则B（B）A．PAB．APC．QAD．AQ333231232221131211aaaaaaaaaAP100030001Baaaaaaaaa333231232221131211333．5．已知A是一个43矩阵，下列命题中正确的是（C）A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2B．若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2C．若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0D．若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为06．下列命题中错误．．的是（C）A．只含有1个零向量的向量组线性相关B．由3个2维向量组成的向量组线性相关C．由1个非零向量组成的向量组线性相关D．2个成比例的向量组成的向量组线性相关7．已知向量组321,,线性无关，,,,321线性相关，则（D）A．1必能由,,32线性表出B．2必能由,,31线性表出C．3必能由,,21线性表出D．必能由321,,线性表出注：321,,是,,,321的一个极大无关组．8．设A为nm矩阵，nm，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（D）A．小于mB．等于mC．小于nD．等于n注：方程组Ax=0有n个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）A．TAB．2AC．1AD．A|||)(|||AEAEAETT，所以A与TA有相同的特征值．10．二次型212322213212),,(xxxxxxxxf的正惯性指数为（C）A．0B．1C．2D．3222123221321)(),,(yyxxxxxxf，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式2010200920082007的值为_____________．21098720002000200020002010200920082007．12．设矩阵102311A，1002B，则BAT_____________．130121BAT1602221002．13．设T)2,0,1,3(，T)4,1,1,3(，若向量满足32，则__________．TTT)8,3,5,3()4,0,2,6()12,3,3,9(23．14．设A为n阶可逆矩阵，且nA1||，则|||1A_____________．nAA||1||1．15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则||A_____________．n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则||A0．16．齐次线性方程组0320321321xxxxxx的基础解系所含解向量的个数为_____________．130111312111A，基础解系所含解向量的个数为123rn．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3，则矩阵1231A必有一个特征值为_________．A有特征值3，则231A有特征值3)3(312，1231A有特征值31．18．设矩阵00202221xA的特征值为2,1,4，则数x_____________．由21401x，得x2．19．已知10002/102/1baA是正交矩阵，则ba_____________．由第1、2列正交，即它们的内积0)(21ba，得ba0．20．二次型323121321624),,(xxxxxxxxxf的矩阵是_____________．031302120．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222ccbbaacbacbaD的值．解：222333222333222111cbacbaabccbacbacbaccbbaacbacbaD2222222200111acabacababcacabacababc))()((11))((bcacababcacabacababc．22．已知矩阵)3,1,2(B，)3,2,1(C，求（1）CBAT；（2）2A．解：（1）963321642)3,2,1(312CBAT；（2）注意到13312)3,2,1(TCB，所以131313)())((2ACBCCBBCBCBATTTTT963321642．23．设向量组T4T3T2T1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：1011130311211112),,,(4321A11121303112110111110233001101011100020000110101100001000011010110000100001101101，向量组的秩为3，421,,是一个极大无关组，213．24．已知矩阵100210321A，315241B．（1）求1A；（2）解矩阵方程BAX．解：（1）100010001100210321),(EA100210301100010021100210121100010001，1A100210121；（2）BAX11002101213111094315241．25．问a为何值时，线性方程组63222243232132321xxxaxxxxx有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：63222204321),(abA23202204321a03002204321aa．3a时，3)(),(ArbAr，有惟一解，此时),(bA01002204321a010020204021010020202001010010102001，012321xxx；3a时，nArbAr2)(),(，有无穷多解，此时),(bA000023204321000023202001000012/3102001，333212312xxxxx，通解为12/30012k，其中k为任意常数．26．设矩阵3030002aaA的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使5000200011APP．解：由521)9(23323030002||2aaaaaA，得42a，2a．AE320230002．对于11，解0)(xAE：AE220220001000110001，333210xxxxx，取1p110；对于22，解0)(xAE：AE120210000000100010，003211xxxx，取2p001；对于53，解0)(xAE：AE220220003000110001，333210xxxxx，取3p110．令101101010),,(321pppP，则P是可逆矩阵，使5000200011APP．四、证明题（本题6分）27．设A，B，BA均为n阶正交矩阵，证明111)(BABA．证：A，B，BA均为n阶正交阵，则1AAT，1BBT，1)()(BABAT，所以111)()(BABABABATTT．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321A，其中i（3,2,1i）为A的列向量，若||B6|),,2(|3221，则||A（C）6|),,2(||),,(|||3221321A．A．12B．6C．6D．122．计算行列式32320200051020203（A）A．180B．120C．120D．18018030)2(310203)2(32005102203332320200051020203．3．若A为3阶方阵且2||1A，则|2|A（C）A．21B．2C．4D．821||A，4218||2|2|3AA．4．设4321,,,都是3维向量，则必有（B）A．4321,,,线性无关B．4321,,,线性相关C．1可由432,,线性表示D．1不可由432,,线性表示5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则)(Ar（C）A．2B．3C．4D．5由2)(6Ar，得)(Ar4．6．设A、B为同阶方阵，且)()(BrAr，则（C）A．A与B相似B．||||BAC．A与B等价D．A与B合同注：A与B有相同的等价标准形．7．设A为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则|2|EA（D）A．0B．2C．3D．24EA