两个随机变量函数的分布

《概率统计》下页结束返回§3.3二维随机变量函数的分布已知（X，Y）的分布，求其函数Z=g(X,Y)的分布内容：要点：一、离散型二、连续型（和的分布）要求：掌握基本方法下页《概率统计》下页结束返回一、离散型例1．已知（X,Y)的联合分布律-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值为：P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1，Y=0}=1/10P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1，Y=1}=1/20P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1，Y=3}+P{X=2，Y=0}=3/20+3/10pk1/101/209/2004/10Z-102351/101/203/203/1004/10-12013XY问题：Z=XY的概率分布？下页《概率统计》下页结束返回已知X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的密度.Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)(,)Dfxydxdy这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.(一)Z=X+Y的分布二、连续型下页《概率统计》下页结束返回化成累次积分,得()(,)ZxyzFzfxydxdy()[(,)]zyZFzfxydxdy固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得()[(,)]zZFzfuyydudy[(,)]zfuyydydu变量代换交换积分次序下页《概率统计》下页结束返回由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成'()()(,)ZZfzFzfzyydy以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.'()()(,)ZZfzFzfxzxdx()[(,)]zZFzfuyydydu下页《概率统计》下页结束返回当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:()()()ZXYfzfzyfydy这两个公式称为卷积公式.()()()ZXYfzfxfzxdx下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度下页卷积公式.()(,)()(,)ZZfzfzyydyfzfxzxdx《概率统计》下页结束返回1,[0,1]()0,Xxfx其它1,[0,1]()0,Yyfy其它解X、Y的概率密度()()()ZXYfzfxfzxdx例2设X、Y的相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布。，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ下页《概率统计》下页结束返回z-10z12u0z-11z2u10()Yfzxdxxzu11()()zzYYzzfudufuduzzdu011121zzdu当0≤z≤1时，fZ(z)=当1＜z＜2时，fZ(z)=,01()2,120,zzzfzzz当当其它所以法一下页()()()ZXYfzfxfzxdx《概率统计》下页结束返回例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解由于X、Y互相独立，由卷积公式()()()zxyfzfxfzxdxdxexzx}2)(2{22212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421224411222zzee221()2xXfxedxeexzx2)(2222121即Z=X+Y～N（0，2）下页《概率统计》下页结束返回（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为n个互相独立的随机变量，且Xi~N(μi，σi2)，则一般地（1）若X1~，X2~N，且X1、X2相互独立，则有),(211N),(222nininiiiiNX1112),(~),(222121X1+X2~N注意：1.卷积公式的条件及选择；2.一般地，如求XY，X/Y，max(X,Y)可考虑分布函数法下页《概率统计》下页结束返回（二）Z=X/Y与Z=XY的概率分布设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)求Z=X/Y的概率分布。(){}{/}(,)zDFzPZzPXYzfxydxdy解00(,)(,)yzyzfxydxdyfxydxdyyux令00(,)(,)zzfyuyydudyfyuyydudy00(,)(,)zzfyuyydudyfyuyydudy[(,)||]zfyuyydydu()(,)||zfzfyzyydy()()()||zXYfzfyzfyydy故Z=X/Y的概率密度为特别地，当X、Y相互独立时有zyxD:x/y=z下页《概率统计》下页结束返回补充例1.设X,Y相互独立服从同一分布,且P{X=i}=1/3(i=1,2,3)令Z=max(X,Y).求Z的概率分布解：先求X,Y的联合分布律。因为X,Y独立，所以P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j}1/91/91/91/91/91/91/91/91/9123123XYZ=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9P{Z=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=1/3P{Z=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=5/9Z123P1/91/35/9下页《概率统计》下页结束返回补充例2(课后习题17).的分布律．机变量，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量ZYXZYXPoisson21，，，，的取值都是与由随机变量210YX，，，，的取值也是可知随机变量210YXZnZPnYXP0{,}nkPXkynk解:所以下页《概率统计》下页结束返回nkknYkXP0，nkknkeknek02121!!nkknYPkXP0nkknkknke021!!121nkknkknknne021!!!!21nkknkknCne021!21nne21!2121!,21ennZPn即分布．的服从参数为分布的定义，知由PoissonPoisson21YXZ，，，210n下页《概率统计》下页结束返回补充例3(99数学4—积的分布）设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上均匀分布，试求边长Ｘ和Ｙ的矩形面积Ｓ的概率分布。21xy=2解：设面积Ｓ的分布函数为FS(s),则FS(s)＝P{S≤s}若0≤s≤2,则FS(s)＝P{S≤s}＝P{ＸＹ≤s}=1-P{ＸＹs}21112ssxdxdy211(1)2ssdxx111ln2ln222ssssS0,则FS(s)＝P{S≤s}=0S2,则FS(s)＝P{S≤s}=1所以1(ln2ln)02()()20ssfsFs其它下页《概率统计》下页结束返回补充4(课后习题19)M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)下页类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是即有=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(N≤z)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]FM(z)=FX(z)FY(z)具体见下例《概率统计》下页结束返回例设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上均匀分布，试求Z=min（Ｘ，Ｙ)概率密度。设Z=min（Ｘ，Ｙ)的分布函数为FＺ(z),则FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]12解：容易判定Ｘ和Ｙ相互独立，且111000)(xxxxxFX2120200)(yyyyyFY2121110)21)(1(100)(zzzzzzzFZ301()()20zzfzFz其它下页《概率统计》下页结束返回作业：80页18结束其它,0]1,0[,2)(yyyfY补充题：设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.其它,0]1,0[,1)(xxfX《概率统计》下页结束返回其它,0]1,0[,2)(yyyfY解一：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.其它,0]1,0[,1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑f(x,y)0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.①当z0时，Fz(z)=0；②当z2时，Fz(z)=1；下页}{)(zYXPzFZ1xyxy011220xy2xy③当0≤z≤1时，zxzZzydydxzF003;3/2)(《概率统计》下页结束返回其它,0]1,0[,2)(yyyfY解1：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.其它,0]1,0[,1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑f(x,y)0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.④当1z≤2时，1100()2zzFzdxydy下页}{)(zYXPzFZ1102zxzdxydy23/31/3zzxy011220xy1xy2xy《概率统计》下页结束返回其它,0]1,0[,2)(yyyfY解1：用分布函数法其它当当,021,210,)(22zzzzzzfz所以，例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.其它,0]1,0[,1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑f(x,y)0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.下页}{)(zYXPzFZ《概率统计》下页结束返回z-10z12u0z-11z2u10()()()()ZXYYfzfxfzxdxfzxdxxzu11()()zzYYzzfudufuduzzdu011121zzdu当0≤z≤1时，fZ(z)=当1＜z＜2时，fZ(z)=所以下页其它当当,021,210,)(22zzzzzzfz当z0或z2时，fZ(z)=100zzdu解2：《概率统计》下页结束返回,20zz，或若⑴0zfZ，若⑵10zzZzdxxzzf02)(2dxxzfxfzfYXZ10,10xzxxz0xz1xz01122112)(2zzdxxzzfzZ