复合函数求导法则

平湖市新华爱心高级中学教学案之教案课题复合函数求导法则课型：新授课主备教师：刘素梅总课时：第课时学习目标1、牢记基本初等函数求导公式2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数3、能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式4、会求简单的形如faxb的复合函数的导数教学重难点重点会分解简单的复合函数及会求导难点正确分解复合函数的复合过程一．创设情景复习：求下列函数的导数（1）324yxx（3）sinxyx（2）3cos4sinyxx（4）223yx（5）ln2yx设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?二．新课讲授探究1、探究函数ln2yx的结构特点探究:指出下列函数的复合关系复合函数的概念一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作()yfgx。复合函数的导数复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)yx；（2）0.051xye；（3）sin()yx（其中,均为常数）．备课札记11)()2)sin()nmyabxyxx解：（1）函数2(23)yx可以看作函数2yu和23ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=2''()(23)4812uxux。（2）函数0.051xye可以看作函数uye和0.051ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=''0.051()(0.051)0.0050.005uuxexee。（3）函数sin()yx可以看作函数sinyu和ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=''(sin)()ss()uxcoucox。【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。变式：求下列函数的导数（1）cos3xy（2）21yx例2求描述气体膨胀状态的函数334vrv的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22x＝1－41（1－cos4x）＝43＋41cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．四．回顾总结（1）会分解复合函数（2）会求复合函数的导数''',uxyyu其中u为中间变量。五．课堂练习1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy(3))2(log2xa2.求)132ln(2xx的导数六．作业教学反思