高二数学-利用导数研究函数的单调性--极值--最值--(不含参)

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．()2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知，[,]22，且sinsin0，则下列结论正确的是A．B．0C．D．22变式训练⑴已知函数2()2cosfxxx，若()fx是()fx的导函数，则函数()fx的图象大致是A．B．C．D．⑵已知函数384()ln33fxxx，则函数()fx的零点个数为______________．⑶．已知函数2()lnfxxxx的导函数为()f'x．①解不等式()2f'x；②求函数()()4xxgfx的单调区间．题型二利用导数求函数的极值例2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．例3如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()A.89B.109C.169D.289变式训练⑴.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()⑵.函数y=x3-3x2-9x(-2x2)有()A.极大值5，极小值-27B.极大值5，极小值-11C.极大值5，无极小值D.极小值-27，无极大值⑶.函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值，则m的值为()A.sin1B.-sin1C.cos1D.-cos1⑷.设函数f(x)=xex，则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点⑸.若a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为()A.B.C.D.⑹.已知a∈R，且函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A.a-1B.a-1C.a-D.a-⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于.1.设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π)，则函数f(x)的各极大值之和为()A.B.C.D.2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为.3已知函数f(x)＝xlnx，求函数f(x)的极值点题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．变式训练1.函数f(x)=x2ex+1，x∈[-2，1]的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2.2.函数f(x)=2+，x∈(0，5]的最小值为()A.2B.3C.D.2+3若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于()A.0B.1C.2D.4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A.0≤a1B.0a1C.-1a1D.0a5.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)g′(x)，则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)6.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值为.7设函数f(x)=x3-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=.8.已知函数f(x)=+lnx，求f(x)在上的最大值和最小值.9.设f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)对任意x0恒成立.1.(5分)设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()A.(1+ln3)B.ln3C.1+ln3D.ln3-12函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0