线性代数第讲中国人民大学吴赣昌

2020/5/141线性代数第4讲2.2矩阵的加法数量乘法乘法本文件可从网址上下载(单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)2020/5/142定义1如果两个矩阵A=[aij]和B=[bij]的行数和列数分别相等,且各对应元素也相等,即aij=bij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n),就称A和B相等,记作A=B.例如由183104024xzy立即可得x=3,y=2,z8.2020/5/143应注意矩阵与行列式的本质区别.行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵是一个数表,它的行数和列数也可以不同.对于n阶方阵,虽然有时也要算它的行列式,记作|A|或detA,但是方阵A和方阵A的行列式是不同的概念,当detA=0(此时A不一定是零矩阵)时,称A为奇异矩阵;当detA0时,称A为非奇异矩阵.2020/5/1442.2.1矩阵的加法定义2设A=[aij]和B=[bij]是两个mn矩阵,规定111112121121212222221122[](2.12)nnnnijijmmmmmnmnababababababABabababab并称A+B为A与B之和.只有行数与列数都相同的矩阵(即同型矩阵)才能相加,且同型矩阵之和仍是同型矩阵.2020/5/145矩阵的加法满足规律:(i)交换律:A+B=B+A;(ii)结合律:(A+B)+C=A+(B+C);(iii)零矩阵满足:A+0=A,其中0与A同型;(iv)存在矩阵(A)满足A+(A)=0,如A=[aij]mn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称(A)为A的负矩阵.还可定义矩阵的减法AB=A+(B)2020/5/1462.2.2矩阵的数量乘法(简称数乘)定义3设k是数域F中的任意一个数,A=[aij]是一个mn矩阵,规定111212122212[],(2.13)nnijmmmnkakakakakakakAkakakaka并称这个矩阵为k与A的数量乘积.2020/5/147注意,数k乘一个矩阵A,需要把数k乘矩阵A的每一个元素,这与行列式的性质一个数乘行列式等于这个数乘行列式的一行或者一列,是不同的.矩阵的数量乘法满足规律:(i)1A=A;(ii)(kl)A=k(lA);(iii)(k+l)A=kA+lA;(iv)k(A+B)=kA+kB;其中1,k,l是数域F中的数.2020/5/1482.2.3矩阵的乘法定义4设A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵111211112121222212221212,nnnnmmmnmmmnaaabbbaaabbbABaaabbb11221.(2.14)nijijijinnjikkjkcabababab则A与B之乘积AB(记作C=[cij])是一个ms矩阵,且2020/5/149根据矩阵乘法定义,可把AB=C形象地表示成其中矩阵C的第i行第j列元素cij,是A的第i行n个元素与B的第j列相应的n个元素分别相乘的乘积之和.m行n列s列n行=s列m行ABC第i行第j列cij2020/5/1410例1设041012121130,32057611AB10801010AB则注意BA没有意义(不可乘).2020/5/1411例2设A,B分别是n1和1n矩阵,且1212,[,,,],nnaaABbbba计算AB和BA.2020/5/1412解111121221222121212121122[,,,][,,,]nnnnnnnnnnnnaabababaabababABbbbaabababaaBAbbbbababaa2020/5/1413例3设,aabbABaabb0022,0022ababABBAabab则如AB=0,称A是B的左零因子,B是A的右零因子.一个非零矩阵如果有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.2020/5/1414例如对于bbccBCbbcc和都是A的右零因子,即AB=AC=0.因此一般情况下,当AB=AC时,不能消去A,而得到B=C,这说明矩阵乘法不适合消去律.1111A2020/5/1415矩阵乘法满足下列运算律:(i)结合律(AB)C=A(BC);(ii)数乘结合律k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k是数;(iii)左分配律A(B+C)=AB+AC;右分配律(B+C)A=BA+CA.2020/5/1416定义5主对角元全为1,其余元素全为零的n阶矩阵,称为n阶单位矩阵,记作In或I;主对角元全为非零常数k,其余元素全为零的n阶矩阵,称为n阶数量矩阵,记作kIn或kI,即11,(0).1nnnnnnkkIkIkkImAmn=Amn,AmnIn=Amn.(kI)A=k(IA)=kA;A(kI)=k(AI)=kA,2020/5/1417定义6非主对角元皆为零的n阶矩阵称为n阶对角矩阵(简称对角阵),记作A,即1212diag(,,,)nnaaAaaaa11112111111211221222221222221212nnnnnnnnnnnnnnnnabbbababababbbababababbbababab显然有2020/5/14181112111112121212222121222212112211112222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbaabababbbbaabababbbbaababababababababab2020/5/1419定义7n阶矩阵A=[aij]mn,当ij时,aij=0,(j=1,2,...,n1)的矩阵称为上三角矩阵;当ij时,aij=0(j=2,3,...,n)的矩阵称为下三角矩阵.易证两个上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵,两个下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵.2020/5/1420线性方程组11112211211222221122,,(2.15).nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb可用矩阵乘法表示为2020/5/1421记1112111212222212,,(2.16)nnmmmnnmaaaxbaaaxbAXbaaaxb则线性方程组(2.15)可简洁地表示成AX=b(2.17)并称矩阵A为线性方程组的系数矩阵.2020/5/1422定理设A,B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即|AB|=|A||B|2020/5/1423例5设abcdbadcAcdabdcba计算(detA)2和detA2020/5/1424解TabcdbadcAcdabdcba因|AT|=|A|,|A|2=|A||AT|=|AAT|=det((a2+b2+c2+d2)I)=(a2+b2+c2+d2)4.因此|A|=(a2+b2+c2+d2)2.但A的主对角元全是a,行列式|A|中的a4项的符号为+,故|A|=(a2+b2+c2+d2)2abcdbadcAcdabdcba2020/5/1425例6设11121112112122212222*1212,nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA其中Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式.A*称作A的伴随矩阵.证明当|A|0时,|A*|=|A|n1.2020/5/1426证设AA*=C=[cij],其中*||||||,(2.19)||||nAAAAAIAA于是.,,2,1,,0|,|2211njiijijAAaAaAacjninjijiij当当因此|A||A*|=|AA*|=|A|n,因|A|0,则|A*|=|A|n12020/5/1427定义8设A是n阶矩阵,k个A的连乘积称为A的k次幂,记作Ak,即个kkAAAA由定义可以证明;当m,k为正整数时,AmAk=Am+k,(2.20)(Am)k=Amk,(2.21)但是要注意,当AB不可交换时,(AB)kAkBk.2020/5/1428定义9设f(x)=akxk+ak1xk1+...+a1x+a0是x的k次多项式,A是n阶矩阵,则f(A)=akAk+ak1Ak1+...+a1A+a0I,称为矩阵A的k次多项式(注意常数项为a0I).由定义容易证明:若f(x),g(x)为多项式,A,B是n阶矩阵,则f(A)g(A)=g(A)f(A)例如(A+3I)(2AI)=(2AI)(A+3I)=2A2+5A+3I.(A+lI)k==Ak+Ck1lAk1+Ck2l2Ak2+...+Ckk1lk1A+lkI其中l为常数.2020/5/1429但一般情况下f(A)g(B)g(B)f(A)例如当AB不可交换时,(A+B)2A2+2AB+B2(A+B)(AB)(AB)(A+B)A2B2.2020/5/14302.3矩阵的转置对称矩阵2020/5/1431定义1把一个mn矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaa的行列互换得到的一个nm矩阵,称之为A的转置矩阵,记作A'或AT,即2020/5/1432矩阵的转置运算满足以下运算规律:(i)(AT)T=A;(ii)(A+B)T=AT+BT;(iii)(kA)T=kAT(k是数);(iv)(AB)T=BTAT(A1A2...Ak)T=AkT...A2TA1T.),,2,1;,,2,1(][,][,njmiaaaAaAijTjimnTjiTnmij则如果记由定义可知2020/5/1433定义2设是一个n阶矩阵,如果aij=aji(i,j=1,2,...,n),则称A为对称矩阵;如果aijaji(i,j=1,2,...,n),则称A为反对称矩阵.反对称矩阵A,由于aiiaii(i=1,2,...,n)所以其主对角元aii全为零.111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa2020/5/1434A为对称阵的充要条件是AT=A;A为反对称阵的充要条件是ATA.必须注意,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.例1设B是一个mn矩阵,则BTB和BBT都是对称矩阵,因为BTB是n阶矩阵,且(BTB)T=BT(BT)T=BTB.同理BBT是m阶对称矩阵.例2设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.这是因