第三章误差的合成与分配

第三章误差的合成与分配第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节未定系统误差和随机误差的合成第四节误差分配第五节最佳测量方案的确定1.基本概念间接测量通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误差。直接测量直接得到被测量值的测量间接测量的数学模型2.函数误差的计算——a.已定系统误差),(21nxxxfy，间接测量值直接测量值若已知各个直接测量值的系统误差可近似得到函数的系统误差为：1212nnfffyxxxxxx12,,,nxxx其中：为直接测量值的误差传递系数。(1,2,,n)ifix结论：各个直接测量值的已定系统误差对函数总误差的函数已定系统误差贡献是一种代数和的形式。2.函数误差的计算——a.已定系统误差1212nnfffyxxxxxx例用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。500mml【解】24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh50.1mmh499mml50mm,h500mml201300mm4lDhh建立间接测量大工件直径的函数模型O根据1212...nnfffyxxxxxx误差传递系数为：222250011244450flhh50052250fllh5050.10.1mmh5004991mml已知,代入则得直径的系统误差7.4mmffDlhlh故修正后的测量结果013007.41292.6mmDDD24lDhh2.函数误差的计算——b.随机误差对n个变量各测量N次，其相应的随机误差为：将右侧方程组中的每个方程两边平方,可得将方程组两边相加可得将上式等号两边除以N,根据22212nn可得函数标准差2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数xiijifxix第i个直接测得量的误差传播系数ix2222221122yxxnxnaaa2222221212yxxxnnfffxxx若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项,iifax令则标准差当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差第i个直接测得量的极限误差limxiix50mmh500mml【解】0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.00516910mmDlhfflh0.13mmD有用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。24lDhh故修正后的测量结果01292.6mmDDD0.13mmD例2：相对测量时需用54.255mm的量块组作标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为l1=40mm，l2=12mm,L3=1.25mm，l4=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及其极限误差。12310.7,0.5,0.3,0.1;lmlmlmlm1234limlimlimlim0.35,0.25,0.20,0.20.llllmmmm解：由题意得：l0=l1+l2+l3+l4所以l0=l1+l2+l3+l4=(40+12+1.25+1.005)mm=54.225mm因为l=f(l1，l2，l3，l4)所以12341ffffllll故，l的系统误差为12341234fffflllllllll(0.70.50.30.1)0.4mm所以，量块组按基本尺寸使用的修正值是40[54.225(410)]54.2254lllmmmm极限误差123422222222limlimlimlimlim1234()()()()lllllffffllll22220.350.250.20.20.5148mm相关系数对函数误差的影响反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响2222221122yxxnxnaaa0ij1ij函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数当相关系数时2、相关系数估计2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx2222221122yxxnxnaaa0ij1ij1122yxxnxnaaa相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量ixjx与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关ixjx1、直接判断法0ijixjxixjxixjx可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然2、试验观察法（1）观察法用多组测量的两误差对应值(ξi,ηi)作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。1ij1ijjxix例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的标准差分别为，求所耗功率P=UI及其标准差。0.5,0.1IumAVp解：所耗功率P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W因为322.510PIAU12.6PUVI且U、I完全线性相关，故相关系数，所以122223()()28.5510puIuIPPPPUIUIW例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的极限误差为±5mm，求全长D及其极限误差。解：1）函数式D=10L=10×30=300m按倍数函数式求全长中误差，将得出limlim1010550DLmm2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为L=l1+l2+…+l10用和差函数式求全长极限误差，因各段极限误差均相等，故得全长极限误差为按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。limlim1016DLmm注意：在函数式中各观测值是否相互独立？本节注意：例：z=x+y，y=3x，求。2z由于没有考虑x，y之间的相关性，结果错误。考虑了x，y之间的相关性，结果正确第二节随机误差的合成标准差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数。极限误差合成随机误差的合成一、标准差合成211()2qqiiijijijiijaaaq个单项随机误差，标准差12,,,q误差传播系数12,,,qaaa由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出iiiyaiiafx知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和函数的误差误差的合成iai各个误差互不相关，相关系数21()qiiia21qii0ij1ia合成标准差当误差传播系数、且各相关系数均可视为0合成标准差随机误差的合成一、极限误差合成合成极限误差：0ij若第三节未定系统误差和随机误差的合成系统误差的合成•定义：–误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差•表示符号：Δ•合成方法：按照代数和法进行合成一、已定系统误差合成Δi为第i个系统误差，ai为其传递系数在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中不再含有已定系统误差。系统误差的合成一、未定系统误差合成对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，完全可以采用随机误差的合成公式来进行未定系统误差的合成，这就给测量结果的处理带来很大方便。已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只要考虑未定系统误差与随机误差的合成。总误差可用标准差来表示，也可用极限误差来表示误差合成总结已定系统误差随机误差a.线性无关b.完全正相关1212(1)nnfffyxxxxxx122222222112()()()2(2)nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx12222222212()()()(3)nyxxxnfffxxx1212()()()(4)nyxxxnfffxxx用已定系统误差修正测值随机误差和未定系统误差合成未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成随机误差和未定系统误差采用方和差合成方式，评估测量结果的分散性1212nnfffyxxxxxxmyyyt2222()()iixxijffsRxx误差合成总结第四节误差分配误差分配给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。22212yyyny给定，如何确定，满足假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有yxi22212yyyynyiiiiifax误差分配一、按等作用原则分配误差各误差项影响相等12yyyynn11/yyiiifxann按极限误差表示：11/yyiiifxann问题？误差分配二、按可能性调整误差为什么调整（1）对一部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求则难以达到。（2）当各个分项误差一定时，相应测量值的误差与其传播系数成反比。因此，当各个分项误差相等时，相应测量值的误差并不相等，有可能相差很大。调整原则？在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大对容易实现的误差项尽可能缩小其余误差项不予调整误差分配三、验算调整后的总误差误差按等作用原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差.若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差。合成后与要求的总误差比较，直到满足要求为止。2230003.1416205015708mm44DVh求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，，试确定直径及高度的测量精度。计算体积体积的绝对误差3301%15708mm1%157.08mmVV例：测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式【