应用随机过程7-布朗运动

2010-7-30理学院施三支第7章布朗运动7.1基本概念与性质7.2Gauss过程7.3布朗运动的鞅性质7.4布朗运动的Markov性7.5布朗运动的最大值变量及反正弦律7.6布朗运动的几种变化2010-7-30理学院施三支7.1基本概念与性质定义7.1.1随机过程}0),({ttX如果满足0)0().1(X则称{)(tX,0t}为布朗运动，也称维纳过程。常记为)(tB,0t或)(tW,0t。(2).{)(tX,0t}有独立的平稳增量(3).对每个0t，)(tX服从正态分布),0(2tN如果1，称之为标准布朗运动，如果1，则}0,/)({ttX为标准布朗运动。不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。注：2010-7-30理学院施三支性质7.1.1布朗运动}0),({ttB具有如下性质：(1).增量具有正态性。即),0(~)()(stNsBtB，ts如果没有假定0)0(B，即xB)0(，称之为始于x的布朗运动，记为)(tBx，显然)()(0tBxtBx。注：(2).增量是独立的。即)()(sBtB与)(uB独立，这里tsu(3).路径的连续性。0),(ttB是t的连续函数。2010-7-30理学院施三支设}0),({ttX是随机过程，如果它的有限维分布时空间平移不变的，即注：}0)0(|)(,,)(,)({2211XxtXxtXxtXPnn})0(|)(,,)(,)({2211xXxxtXxxtXxxtXPnn设0),(ttB是标准布朗运动，计算}0)2({BP，}2,1,0,0)({ttBP。例7.1.1则称此过程为空间齐次的。布朗运动过程具有空间齐次性。定义7.1.22010-7-30理学院施三支7.2高斯过程定义7.2.1有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。设),(~211NX，),(~222NY相互独立，则),(~NYX。其中),(211，2221212121引理7.2.1)(tB是布朗运动，求：(1))4()3()2()1(BBBB的分布；(2))1()43()21()41(BBBB的分布；(3)}32)({10dttBP。例7.2.1布朗运动过程是均值为0)(tm，协方差函数为),min(),(stts的高斯过程。定理7.2.12010-7-30理学院施三支7.3布朗运动的鞅性质设)(tB是布朗运动，则(1))(tB是鞅；(2)ttB2))((是鞅；；(3)对任何实数u，}2)(exp{2tutuB是鞅。定理7.3.12010-7-30理学院施三支7.4布朗运动的马尔科夫性定义7.4.1设0),(ttX是一个连续随机过程，如果对任何0,st，有..)},(|)({}|)({satXystXPFystXPt则称为Markov过程。这里}0),({tuuXFt布朗运动过程是马尔科夫过程。定理7.4.12010-7-30理学院施三支7.5布朗运动的最大值变量及反正弦律记xT为布朗运动首次击中x的时刻，即})(:0inf{xtBtTx，我们可以计算出从而1}{lim}{tTPTPxtx，但是0020222}{dtdyedttTPETtxyxx0222002222212222dyeyxdtdyeyyxy102212122dyyex0x时txyxdyextBPtTP2222})({2}{2010-7-30理学院施三支则xT为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。直观地看，布朗运动以概率1击中x，但它的平均时间是无穷的。同样0x时txyxdyetTP2222}{故有0,00,2||)(2232uueuxufuxTx2010-7-30理学院施三支记)(tM为布朗运动在[0,t]中达到的最大值，即)(max)(0sBtMts，我们可以计算出当0x，有txyxdyetTPxtMP2222}{})({记)(tm为布朗运动在[0,t]中达到的最小值，即)(min)(0sBtmts，我们可以计算出当0x，有txyxdyetTPxtmP2222}{})({设)}({tBx为始于x的布朗运动，则)}({tBx在),0(t中至少有一个零点的概率为tuxdueux022322||。定理7.5.1如果时间使得0)(B，则称为布朗运动的零点。2010-7-30理学院施三支设}0),({ttBy是布朗运动，则babatBPyarcsin2}),()({中没有零点在。定理7.5.3)(tBy在区间),(ba中至少有一个零点的概率为baarccos2。定理7.5.22010-7-30理学院施三支7.6布朗运动的几种变化一、布朗桥设0),(ttB是一个布朗运动，令)1()()(*tBtBtB，10t则称随机过程}10),({**ttBB为布朗桥(BrownBridge)定义7.6.1注：0)(*tEB)1()()(**tstBsEB布朗桥是高斯过程。且对任何，有10ts由定义可知，0)1()0(**BB2010-7-30理学院施三支二、有吸收值的布朗运动设}0),({ttB是一个布朗运动，xT为)(tB首次击中x的时刻，令xxTtxTttXtZ,),()(则}0),({ttZ是击中x后，永远停留在那里的布朗运动，即带有吸收值x的布朗运动。注：xtydyetxtZP2222})({0),(ttZ的分布：离散部分和连续部分分别是yxytuduetytZP22222})({2010-7-30理学院施三支三、在原点反射的布朗运动设}0),({ttB是一个布朗运动，令0|,)(|)(ttBtY则称}0),({ttY是在原点反射的布朗运动。注：0),(ttY的分布0122})({22yduetytYPytu，2010-7-30理学院施三支四、几何布朗运动设}0),({ttB是一个布朗运动，令0,)()(tetXtB则称}0),({ttX为几何布朗运动。注：0),(ttX的均值函数和方差函数分别为2)(tetEXtteetXVar2))((设某人拥有某种股票的交割时刻为T，交割价格为K的欧式看涨期权，即他具有在时刻T固定的价格K购买一股这种股票的权利。假定这种股票目前的价格为y，并按几何布朗运动变化，计算拥有这个期权的平均价值。例7.6.1（股票期权的价值）2010-7-30理学院施三支五、有漂移的布朗运动设}0),({ttB是一个标准布朗运动，ttBtX)()(，我们称}0),({ttX为有漂移的布朗运动。常数称为漂移系数。注：baaabP}{之前上升布朗运动在下降利用有漂移的布朗运动0),(ttX可以算出作业：1.P1421,2,42.写本章小结