龙格库塔方法的Miline-Hamming预测-校正算法实验报告

2011-2012学年第2学期实验报告实验名称：微分方程数值解实验学院：******专业：**************班级：**********班内序号：**学号：********姓名：******任课教师：******北京邮电大学时间：****年**月**日实验目标用多环节Miline-Hamming预测-校正算法求下列方程的解{y‘=y−2xy,y(0)=1,0≤x≤4其中解析解为y(x)=√1+2x实验原理计算龙格库塔显示公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正。Miline-Hamming预测-校正公式为{pn+1=un−3+43h(2fn−fn−1+fn−2)mn+1=pn+1+112121(cn−pn)cn+1=18(9un−un−2)+38h[f(tn+1,mn+1)+2fn−fn−1]un+1=cn+1−9121(cn+1−pn+1)其对应的算法流程为1）输入a，b，f(t,u)，N，u02）置h=(b-a)/N，t0=a，n=13）计算fn-1=f(tn-1,un-1)K1=hfn-1K2=hf(tn-1+h/2,un-1+K1/2)K3=hf(tn-1+h/2,un-1+K2/2)K4=hf(tn-1+h,un-1+K3)un=un-1+1/6(K1+2K2+2K3+K4)tn=a+nh4）输出(tn,un)5）若n3，置n+1→n，返回3；否则，置n+1→n，0→p0，0→c0，转6.6）计算f3=f(t3,u3)t=t3+hp=u0+4/3(2f3–f2+2f1)m=p+112/121(c0-p0)c=1/8(9u3-u1)+3/8h[f(t,m)+2f3–f2]u=c-9/121(c-p)输出(t,u)7）如nN，则置n+1→n，tj+1→tj，uj+1→uj，fj+1→fj(j=0,1,2)，t=t3，u=u3，p=p0，c=c0，转6否则停止。实验过程我们不妨设步长h=0.2，编程实现如下：clearclfclc%直接求解微分方程y=dsolve('Dy=y-2*t/y','y(0)=1','t');%Miline-Hamming预测-校正法h=0.2;t=0:h:4;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);f=zeros(1,n);p=zeros(1,n);c=zeros(1,n);m=zeros(1,n);fori=2:nifi-1=3f(i-1)=u(i-1)-2*t(i-1)/u(i-1);k1=h*f(i-1);k2=h*((u(i-1)+k1/2)-2*(t(i-1)+h/2)/(u(i-1)+k1/2));k3=h*((u(i-1)+k2/2)-2*(t(i-1)+h/2)/(u(i-1)+k2/2));k4=h*((u(i-1)+k3)-2*(t(i-1)+h)/(u(i-1)+k3));u(i)=u(i-1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);zbu(1,i)=t(i);zbu(2,i)=u(i);elsef(i-1)=u(i-1)-2*t(i-1)/u(i-1);p(i)=u(i-4)+4/3*h*(2*f(i-1)-f(i-2)+2*f(i-3));m(i)=p(i)+112/121*(c(i-1)-p(i-1));c(i)=1/8*(9*u(i-1)-u(i-3))+3/8*h*(m(i)-2*t(i)/m(i)+2*f(i-1)-f(i-2));u(i)=c(i)-9/121*(c(i)-p(i));zbu(1,i)=t(i);zbu(2,i)=u(i);endendzbu%作图plot(t,u,'r*','markersize',10)holdon,ezplot(y,[0,4])holdon,title('Miline-HammingÔ¤²â-УÕýËã·¨')gridonlegend('Miline-HammingÔ¤²â-УÕýËã·¨','½âÎö½â')%解真值h=0.2;t=0:h:4;n=length(t);fori=1:ny(i)=(1+2*t(i))^(1/2);zby(1,i)=t(i);zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图1所示图1Miline-Hamming预测-校正法与解析解比较（h=0.2）同时我们可以得到Miline-Hamming预测-校正法和解析解在各点处的数值分别如下表1所示：t坐标00.20000.40000.60000.80001.00001.20001.40001.6000M-H法1.00001.18321.34171.48331.61241.73201.84381.94932.0492真值1.00001.18321.34161.48321.61251.73211.84391.94942.0494t坐标1.80002.00002.20002.40002.60002.80003.00003.20003.4000M-H法2.14452.23572.32332.40772.48902.56772.64382.71742.7887真值2.14482.23612.32382.40832.49002.56902.64582.72032.7928t坐标3.60003.80004.0000M-H法2.85752.92372.9871真值2.86362.93263.0000表1Miline-Hamming预测-校正法与解析解在各点数值比较（h=0.1）为了评判Miline-Hamming预测-校正法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。对于Miline-Hamming预测-校正法的每个的估计值有：相对误差=|估计值－真值|真值从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表：t坐标00.20000.40000.60000.80001.00001.20001.40001.6000M-H法00.00000.00000.00000.00010.00000.00000.00010.0001t坐标1.80002.00002.20002.40002.60002.80003.00003.20003.4000M-H法0.00010.00010.00020.00030.00040.00050.00070.00110.0015t坐标3.60003.80004.0000M-H法0.00210.00300.0043表2Miline-Hamming预测-校正法在各点相对误差比较（h=0.1）很明显，当我们对各点处的相对误差取平均后，该平均值小于0.01。因此，我们可以认为Miline-Hamming预测-校正法的在h=0.2时的算法精度相对较高，所得到的结果与真值较为接近。接下来我们在对h=0.5和h=0.1的情况进行计算，可以得到结果如下表3和表4所示t坐标00.50001.00001.50002.00002.50003.00003.50004.0000H=.51.00001.41551.73552.00842.25172.48862.74543.07503.5964真值1.00001.41421.73212.00002.23612.44952.64582.82843.0000误差00.00090.00200.00420.00700.01600.03770.08720.1988表3Miline-Hamming预测-校正法在各点值及相对误差比较（h=0.5）t坐标00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.8000H=.11.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.6124真值1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.6125t坐标0.90001.00001.10001.20001.30001.40001.50001.60001.7000H=.11.73201.78881.84391.89731.94932.00001.73202.04942.0976真值1.67331.73211.78891.84391.89741.94942.00002.04942.0976t坐标1.80001.90002.00002.10002.20002.30002.40002.50002.6000H=.12.14472.19082.23602.28032.32372.36632.40822.44932.4898真值2.14482.19092.23612.28042.32382.36642.40832.44952.4900t坐标2.70002.80002.90003.00003.10003.20003.30003.40003.5000H=.12.52962.56882.60742.64542.68282.71982.75622.79212.8275真值2.52982.56902.60772.64582.68332.72032.75682.79282.8284t坐标3.60003.70003.80003.90004.0000H=.12.86242.89692.93092.96452.9976真值2.86362.89832.93262.96653.0000表4Miline-Hamming预测-校正法在各点值及相对误差比较（h=0.1）其中表3中相对误差的平均值为0.0393。而表4中的误差值小于是10的-3次方，在此不列出。可以的到结果图像如下图2和图3所示：图1Miline-Hamming预测-校正法与解析解比较（h=0.5）图1Miline-Hamming预测-校正法与解析解比较（h=0.1）实验结果通过以上计算，我们可以得到如下的结论：1．Miline-Hamming预测-校正法的计算精度相对较高，，当步长h=0.2时平均相对误差已小于0.01，因此可以认为这种方法可以得到和解析解较为接近的数值解。2．伴随着步长的增加，我们可以发现相对误差的平均值随之减小。因此我们认为当步长h越小时计算精度越高。因此在计算能力允许的范围内，选取步长越小可以得到更加精确的结果。3．在利用Miline-Hamming预测-校正法的过程中，前4次迭代的结果会对第五轮求得的数值产生影响。因此，一旦前四轮轮迭代所得的结果有偏差，下一轮结果的偏差将大于之前的偏差。因此会导致伴随迭代次数的增加而产生更大的偏差。