数字信号处理研讨-DFT近似计算信号频谱

BeijingJiaotongUniversity数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱学院：电子信息工程学院小组成员：指导教师：时间：2013.06.24DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1)掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。(2)理解误差产生的原因及减小误差的方法。(3)培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨题目】基本题1.已知一离散序列为31,,1,0),π2.0sin(][kkkx(1)用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(2)对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(3)讨论所获得的结果，给出你的结论。该结论对序列的频谱计算有何指导意义？【题目分析】本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。【温磬提示】在计算离散非周期序列频谱时常用/作为横坐标，称/为归一化频率normalizedfrequency)。在画频谱时需给出横坐标。每幅图下都需给出简要的文字说明。由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift函数对fft计算的结果进行重新排列。【序列频谱计算的基本方法】连续信号，通过其抽样的离散信号，和离散信号的DFT变换存在如下关系：mNXπ2j)e(mkNNNkNNWkxkRkx][~])[][~(DFT10通过如上关系，我们就可以通过DFT来求信号的频谱。【仿真结果】fm=0.9375fm=0.9219fm=0.9141fm=0.9102fm=0.9082【结果分析】增加DFT的点数可以使频谱更容易观察，即减轻了栅栏效应带来的影响。频谱的横坐标为归一化频率，所以原信号的峰值第一次应该出现在0.2处，随着DFT点数的增大，频谱表示也越来越精确。【自主学习内容】1.归一化频率相关知识。2.通过matlab计算DFT和matlab的绘图操作。【阅读文献】1．数字信号处理2．补零对有限长序列频谱及DFT的影响。【发现问题】(专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：DFT点数的增多是否能提高频谱分辨率？【问题探究】虽然DFT点数增加使图像更加细致，但是因为不论DFT点数是多少，抽样点数都是相同的，所以每个频谱所包含的信息相同，频谱分辨率只与抽样点数相关，与DFT点数无关，频谱分辨率相同。所以不能通过增大DFT点数而减少信息损失。DFT点数的增多不能提过频率分辨率。【仿真程序】k=0:31;N=16;x=sin(0.2*pi*k);fori=1:5N=2*N;X=fft(x,N);k=0:N-1;subplot(5,1,i);plot(k/N,abs(X));xlabel('f/HZ');ylabel('Magnitude');fm=find(X==max(X))/N;fmend2已知一离散序列为x[k]=Acos0k+Bcos0+)k)。用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的值(如A和B近似相等，A和B差距较大)，确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔Ncπ2Δw中c的值。【题目分析】本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。【仿真结果】【结果分析】第一排是c=4，第二排c=3，远大于教材定义的标准c=2。无论A/B的比值是多少，区分谱峰毫无压力。第3排中，c=2是教材定义的标准，A与B接近的时候，区分较为容易，当A/B为1.6的时候，几乎是无法区分，而A/B=4的时候，完全无法区分。所以说在设计使用哈明窗的时候，如果不同频谱的信号所占比例相差较大，哈明窗的c要比2大。从第一列可以看出，如果A/B象近的时候，即使c稍小于2，也是可以区分的。每一列中，A/B的比值是相同的，随着c的减小，谱峰的区别能力很容易看出是降低的。【自主学习内容】不同窗函数的屏幕分辨率。【阅读文献】数字信号处理【发现问题】(专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：哈明窗所起的作用？哈明窗与矩形窗谁的分辨率高？在仿真的时候c该选用怎样的值？【问题探究】哈明窗主瓣较宽，分辨率比矩形窗差，但是哈明窗可以使能量集中在主瓣处。所以哈明窗可以起到减小泄漏的作用。在仿真的时候c该选用怎样的值？在开始的时候选用的c为124816，对比效果不明显，发现c的取值过于大，反复尝试确定在2附近多取值，其他值也不可取得过于大，因为c稍大实验现象基本相同，所以没有意义。【仿真程序】N=64;k=0:N-1;c_set=[432.221.91.81.5];A_set=[11.21.64];B=1;w0=0.5*pi;forc_index=1:length(c_set)c=c_set(c_index);dw=c*2*pi/N;forA_index=1:length(A_set)A=A_set(A_index);x=A*cos(w0*k)+B*cos((w0+dw)*k);Xh=fft(x.*hamming(N)');subplot(length(c_set),length(A_set),length(A_set)*(c_index-1)+A_index);plot(k,abs(Xh));holdon;title(['c='num2str(c)';A/B='num2str(A)]);axis([1225025]);endend3已知一离散序列为x[k]=cos(0k)+0.75cos(1k),0k63其中0=0.4,1=0+/64(1)对x[k]做64点FFT,画出此时信号的频谱。(2)如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因。(3)给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案，并进行仿真实验。【题目分析】分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。【仿真结果】【结果分析】频谱的横坐标是归一化频率，图示只观察要区别的部分。每一个列的抽样点相同，每一行DFT点相同。但看第一列，虽然增加DFT点数，甚至是增加到32768，也不能够区分两个谱峰，所以要想增加频率的分辨率，可以增加抽样点数，第二列和第三列抽样点数分别是128和256，都可以区分两个谱峰。【自主学习内容】如何增加频谱分辨率。【阅读文献】数字信号处理。【发现问题】(专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：如何计算所需抽样点数？可以通过信号频率的差值计算。【问题探究】1、2、3题讨论的是离散信号频谱的计算问题。与连续信号频谱计算问题相比较，其计算误差有何不同？连续信号的频率是非周期的，离散信号的频谱是连续信号频谱的周期话，可能会有混叠误差。【仿真程序】w0=0.4*pi;dw=pi/64;w1=w0+dw;N_set=[64128256];L_set=[6412825651232768];forN_index=1:length(N_set);N=N_set(N_index);k=0:N-1;x=cos(w0*k)+0.75*cos(w1*k);forL_index=1:length(L_set)L=L_set(L_index);ifLNcontinueendX=fft(x,L);m=(0:L-1)*2/L;subplot(length(L_set),length(N_set),(L_index-1)*length(N_set)+N_index);plot(m,abs(X));axis([0.380.44040]);title(['N='num2str(N)'L='num2str(L)]);endend4试用DFT近似计算高斯信号)exp()(2dttg的频谱抽样值。高斯信号频谱的理论值为)4exp(π)j(2ddG通过与理论值比较，讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响。【题目分析】连续非周期信号频谱计算的基本方法。计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法。【仿真结果】【结果分析】如图所示，横轴坐标为角频率，左斜线上的图截取时间相同，垂线上的抽样频率相同，很容易能否看出，增加截取时间和抽样频率都可以减小误差。【自主学习内容】连续非周期信号的频谱计算方法。【仿真程序】d=pi;fsam_set=[124816];N_set=[1248];L=64;forfsam_index=1:length(fsam_set);fsam=fsam_set(fsam_index);Tsam=1/fsam;forN_index=1:length(N_set);N=N_set(N_index);cuttime=N*Tsam;k=-N/2:N/2-1;t=k*Tsam;x=exp(-d*t.^2);X=Tsam*fftshift(fft(x,L));w=linspace(-pi*fsam,pi*fsam,L);subplot(length(N_set),length(fsam_set),fsam_index+length(fsam_set)*(N_index-1));plot(w,abs(X));holdon;G=exp(-w.*w/(4*d));plot(w,G,'r');title(['cuttime='num2str(cuttime)'fsam='num2str(fsam)]);endend扩展题5本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题。周期为T0的连续时间周期信号x(t)可用Fourier级数表示为ntnnXtx0j0e)()(其中ttxTnXtnTde)(~1)(00j00X(n0)称为连续时间周期信号x(t)的频谱函数。000π2π2fT称为信号的基频（基波），0n称为信号的谐波。如果信号x(t)函数表达式已知，则可由积分得出信号的频谱。如果信号x(t)函数表达式未知，或者x(t)函数表达式非常复杂，则很难由积分得信号的频谱。本题的目的就是研究如何利用DFT近似计算连续时间周期信号的频谱。(1)若在信号x(t)的一个周期T0内抽样N个点，即NTT0，T为抽样周期(间隔)，可获得序列x[k]1,,1,0;)(][NktxkxkTt试分析序列x[k]的DFT与连续时间周期信号x(t)的频谱X(n0)的关系；(2)由(1)的结论，给出由DFT近似计算周期信号频谱X(n0)的方案；(3)周期信号x(t)的周期T0=1，x(t)在区间[0，1]的表达式为x(t)=20t2(1t)4cos(12t)(a)试画出信号x(t)在区间[0，1]的波形；(b)若要用6次以内的谐波近似表示x(t)，试给出计算方案，并计算出近似表示的误差。讨论出现误差的原因及减小误差的方法。【理论推导】DFT计算所得结果X[m]与连续周期信号频谱X(n0)的关系。ntnnXtx0j0e)()(1,,1,0;)()(][00NkenXtxkxkTjnnkTt由于NTNTT2,00,于是得nnkNnXkx2j0e)(令n=m+rN;m=0,1,2,…Ｎ－１，ｒ为整数，上式可化为nkrNmNNmrNmXkx)(2j010e))((化简可得nmkNNmrNmXkx2j010e))((对比IDFT102je1NmmkNmXNkx可得nNrNmXNmX10,1,2,m;))((0【计算方案】根据理论推导结果设计近似计算方案。分析产生误差的主要原因。DFT是连续信号频谱的周期化，如果频谱信号高频信号较多，就会产生混叠，所以有误差。如果主要是低频信号，周期话后互补产生影响，就没有误差。【扩展分析】如果周期信号x(t)是带限信号，即信号的最高频率分量为M0(是正整数)，试确定在一个周期内的最少抽样点N，使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。与抽样定理给出的结论比较，发表你的