高等量子力学三种绘景变换

§三种绘景§1绘景变换薛定谔绘景§2海森伯绘景§3连续性方程*§4相互作用绘景§1绘景变换薛定谔绘景量子力学中的各种关系式,可以直接用矢量和算符表示,也可以取不同的表象,用矩阵表示.不同表象中的矢量和算符,通过一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来.一个关系式在不同表象中的形式是完全平行和等价的.到现在为止,我们已经把量子力学的基本规律和各种关系式差不多都建立起来了,表现为希尔伯特空间中的矢量和算符的各种关系式.现在取一个含时间的幺正算符tU,作用在所有的矢量和算符上,按(2.29)和(2.30)的方式进行幺正变换.这样也会得到另一套完全平行和等价的关系式,但其形式会发生较大的变化.这时我们说,幺正变换tU使我们得到量子力学关系式的另一个绘景.改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换,使得在新的绘景中为解决某一具体问题带来一些方便.首先,把作绘景变换之前迄今已经讨论的内容,作为一个绘景,并称之为薛定谔绘景.为了同新的绘景相区别,把迄今为止的矢量t和算符A写作St和SA.薛定谔绘景的特点就是态矢量是含时的,并且服从薛定谔方程:SSStHtti(11.18)而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外,这种情况我们暂不考虑),这样就有0SAti(11.19)在薛定谔绘景中还可以取各种表象,每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动的,每一组基矢则是静止的,态矢量的各种表象,不论写成矩阵形式或函数形式,都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在静止的基矢上的分量.§2海森伯绘景当系统的哈密顿SH不含时间时,可以建立海森伯绘景:保持希尔伯特空间中的基矢框架不动,将St连同所有描写物理量的算符SA,全部进行一个含时的幺正变换.幺正变换选用这个系统的演化算符0,tU的逆算符去进行,即含时的幺正算符是StHietUtU,00,1(11.20)式中SH是这个系统的薛定谔绘景中的哈密顿.若SH本身含有时间,则此式不成立,无法建立海森伯绘景.我们称这样变换后的态矢量和算符为海森伯绘景中的态矢量和算符,记作H和tAH:SSHttU00,1(11.21)海森伯绘景的特点：态矢量H不随时间变化,而描写物理量的算符则是随时间变化的.0Hti(11.22)SStHiStHiHeAetitAtiSStttUt00,0,0,1tUAtUtASHSStUt00,SStHiStHiHeAetitAtiSSSStHiSStHitHiSStHieHAeeAHeHHHHHtAtAH于是得HHHHHHtAtAHtAti，,此式就是在海森伯绘景中的运动方程.它描写了算符tAH随时间变化的规律,称为海森伯方程.由变换方程(11.21)式可知SHHH所以可以将哈密顿算符右上角表示绘景的标记略去.StHitHiStHiStHiHHeeHeHeHSSSSSStHitHiee(11.23)守恒量系统的H不含时间时,若物理量A在海森伯绘景中的算符HA不随时间而变,则A称为守恒量.由(11.23)知,A是守恒量的条件为HHHHHHtAtAHtAti，,0,HAH或0,SAH显然,不含时的哈密顿H本身是一个守恒量.事实上,由于0,SAH,对于守恒量A来说,有StHiStHiHAeAeASS守恒量的重要性质是守恒量SA在系统的任意含时态St中取各值ia的概率不随时间变化.可根据原理2证明这一性质.守恒量SA既然同哈密顿H对易,那么含有SA的一组厄米算符完备组SSBHA,,中一定含有H.用B代表完备组中其余的厄米算符,它们的共同的本征矢量可以写成kjibEa式中jiEa,和kb分别是HAS,和B的本征值.将系统的态矢量St按这套本征矢量展开:ijkijkkjiScbEatijkijkkjiScbEat其中HtHikjiSkjiijkSebEatbEatcHkjitEiHtEikjibEaeebEajj因此2ijkc是不含时间的。物理量SA在态St中取值ia的概率是jkijkc2于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关.由此性质又可以得出下面几条结论:守恒量A在系统任意状态中的平均值不随时间变化.HHHHtHiStHiHSSStAeAetAtASS若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值,则在此后(以及此前)的任意时刻均取相同的确定值.在量子力学中,研究守恒量是非常重要的.守恒量与系统的哈密顿的各种对称性有密切的关系,我们将在第四章中详细研究这个问题.HtHiSSSetUt000,我们可以对海森伯绘景作一个稍微直观一点的理解.设在希尔伯特空间中取一组厄米算符完备组K,用K的本征矢量i建立一组基矢,作为一个固定的框架.某系统的状态的海森伯绘景SH0是不含时的,而Hi就是态在海森伯绘景中的K表象,这也是不含时的;就是说,海森伯绘景中也可以建立各种表象,写成矩阵形式,这些一列矩阵都是不含时的.我们也可以换一个角度来看:保持基矢组i不动,再复制一组与i一样的基矢组,让这组新的基矢在0t时与原来的基矢完全重合,而在t增加时开始动起来,成为动基矢组Sit.我们规定动基矢组的运动规律与系统的态矢量运动规律一样,即itHiSiet(11.24)这样Sit就成为空间中一组动的框架.这时系统的态矢量St在动基Sit上的分量,就是海森伯绘景中态矢量的K表象:HiStHiiSiStett用经典力学来比喻,就是我们建立了一个与动矢量相”固连”的动坐标系,观察者“站在”动坐标系上去观察那个动矢量,他看到的这个矢量将是静止的.从动系上看静止的算符A,则看到的是一个运动的算符;即静止算符A在动系中的矩阵元是含时的:jHijtHiStHiiSjSiStAeAetAt如果厄米算符完备组K中含有系统的哈密顿H,那么以上两式就是海森伯绘景中的能量表象.它是海森伯绘景中最常用的一个表象,也是历史上最早的海森伯绘景中的矩阵形式.那时因为基矢组i是H的本征矢量,动基矢组Sit的运动规律比较简单:itEiSiiet这时动基矢只是相位在作周期性的变化.但是,对于这种经典力学的比喻不能十分认真,这只是一种比喻.因为这里的动基矢框架(11.24)式,并不像动坐标那样是彼此相固连的,它们虽然按照同一运动规律运动,但各自的运动是彼此不同的.然而它们却时时刻刻保持着归一化和彼此的正交性.这是复空间特有的性质.itHiSiet根据幺正变换的性质,两个绘景中含有矢量和算符的所有的关系式都是一样的(带有对时间取导数的关系式除外),算符的本征值与简并度数也是一样的.因此,在海森伯绘景中tXH和tPH的对易关系为，0,,0,tPtPtXtXHjHiHjHi(11.25)在海森伯绘景中,位置算符与动量算符随时间变化的规律,根据(11.23)式及(6.9)式为tXHtPHitPdtdtPHtXHitXdtdHiHiHiHiHiHi,,此二式与经典分析力学中的哈密顿正则方程的形式完全一致.(11.26)ijHjHiitPtX,BfBABfA],[,tAHtAtiHHH,§3相互作用绘景当系统的哈密顿SH可以分成两部分:SSSHHH10其中主要部分SH0不含时间而又经过充分研究,且微扰部分SH1只给出较小影响时可以建立一种新的绘景,称为相互作用绘景.SH1可以含时.相互作用绘景中的态矢量It和IA经过下列变换得到的:StHiItetS0SStHiStHiIeAetA00(11.36)(11.37)StHiItetS0SStHiStHiIeAetA00所用的变换算符为StHietU00(11.38)相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随时间变化的.它们的运动方程可以对(11.36)和(11.37)二式求导得出:StHiSStHiIttietHettiSS000SSSttUtUHHtU100010即IIIttHtti1算符的运动方程为tAHtAtiIII,0(11.39)(11.40)IIIttHtti1tAHtAtiIII,0式中，SIHH00tUtHtUtHSI01101在相互作用绘景中,不论SH1是否含时,系统的哈密顿tHI都是含时的,但IH0仍是不含时的,它等于SH0(但不等于HH0).我们得到的结论是,在相互作用绘景中,算符随时间变化的规律与海森伯绘景中的运动方程相同,但必须将那里的HH换成IH0;而态矢量随时间变化的规律则与薛定谔绘景中的运动方程相同,但必须将那里的SH换成IH1.这也就是相互作用绘景的优越性所在.如果未加微扰的系统经过充分研究,而海森伯绘景中各算符之间的关系已经求得，则加上微扰后这些关系多数要发生改变。这时如果采用相互作用绘景,则各算符在相互作用绘景中的关系,与未加微扰系统在海森伯绘景中的算符关系一样,因此可将那里的公式直接移过来;而对于态矢量来说，相互作用绘景的运动方程中只有一个小的微扰算符IH1，便于近似求解。根据(11.39)式，在薛定谔绘景中已经研究清楚的有关态矢量的关系式，只要把其中的SH换成IH1，就可以移过来成为相互作用绘景中的公式.IIIttHtti1tAHtAtiIII,0例如，在相互作用绘景中，态矢量的演化关系为IIItUt00,(11.41)演化算符0,tUI的公式即可直接由(11.14)式或(11.17)式移过来:ttnttnttnIdtdtdtinttU0002110!11,nIIItHtHtHC12111由于tHI1是小量，此式收敛的很快，便于计算.(11.42)相互作用绘景就是未受微扰系统的海森伯绘景.那时,系统的态矢量St对于动基矢(11.24)所构成的框架来说是静止的.当系统受到微扰之后,其态矢量的运动方式将有所改变,对动基矢框架将呈现出较小的运动,这就是对相互作用绘景的直观理解.将(11.39)式取0H表象,设0H的本征矢量为i,则有IIIttHtti1IjjjIiIitHtti1(11.43)这就是相互作用绘景中的能量表象的运动方程.不少教材在讨论含时微扰时,为了解薛定谔绘景中的薛定谔方程:SSSStHHtti10(11.44)常常把态矢量St按0H的含时本征矢量tEiiie展开:iitEiiStaeti将上式代回(11.44)式后得到展开系数tai的方程为IjjjIiIitHtti1taHetatijjSijtEEiiji1(11.45