数值分析上机题3

数值分析上机题目3实验一1．根据Matlab语言特点，描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2．编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。3．给定2020RA为五对角矩阵321412132141412132141412132141412132141213(1)选取不同的初始向量)0(x及右端面项向量b，给定迭代误差要求，分别用编写的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。(2)用编写的SOR迭代法程序，对于(1)所选取的初始向量)0(x及右端面项向量b进行求解，松驰系数ω取1ω2的不同值，在5)1()(10kkxx时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。实验11、根据MATLAB语言特点，描述Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2、编写Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。Jacobi迭代法function[x1,k]=GS_2(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;whilenorm(x1-x0,1)10^(-7)&k100k=k+1;x0=x1;x1=D\((L+U)*x0+b);endk=kx=x1Gauss-Seidel迭代法function[x1,k]=GS_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;whilenorm(x1-x0,1)10^(-7)&k100k=k+1;x0=x1;x1=(D-L)\U*x0-D\b;endk=kx=x1SOR迭代法function[x1,k]=SOR_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;w=0.96;whilenorm(x1-x0,1)10^(-7)&k100k=k+1;x0=x1;x1=(D-w*U)\(((1-w)*D+w*L)*x0+w*b);endk=kx=x13、采用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法求解五对角矩阵clear,clcA=diag(3*ones(20,1))+diag((-0.5)*ones(19,1),-1)+diag((-0.5)*ones(19,1),1)+diag((-0.25)*ones(18,1),-2)+diag((-0.25)*ones(18,1),2);b=sum(A')';[x1,k1]=Jacob_h(A,b)[x2,k2]=GS_h(A,b)运行结果：两种方法都收敛，k1=27,k2=13。说明Gauss-Seidel迭代速度比Jacobi迭代速率快4、采用SOR迭代法程序对五对角矩阵进行求解clear,clcA=diag(3*ones(20,1))+diag((-0.5)*ones(19,1),-1)+diag((-0.5)*ones(19,1),1)+diag((-0.25)*ones(18,1),-2)+diag((-0.25)*ones(18,1),2);b=sum(A')';[x3,k3]=SOR_h(A,b)运行结果当w=0.5时，k3=53，当w=0.96时，k3=19，当w=1.1时，k3=14，当w=1.5时，k3=33。该结果说明，当w选取合适时，可以大大加快运算速率。实验二题目：多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过实验的观察和测量给出离散的一些点，再来求出具体的函数解析式。又因为测量误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。最小二乘法是求解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。数学原理：对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,…，n)，设函数分布为mjjjxaxy0)()(特别的，取)(xj为多项式jjxx)((j=0,1,…，m)则根据最小二乘法原理，可以构造泛函nimjijjimxafaaaH1010))((),,,(令0kaH(k=0,1,…，m)则可以得到法方程),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100mmmmmmmmfffaaa求该解方程组，则可以得到解maaa,,,10，因此可得到数据的最小二乘解mjjjxaxf0)()(程序设计：编写求解多项式拟合的Matlab函数子程序实验要求：用最小二乘法处理下面的实验数据.xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出)(xf的近似分布图。分别采用一次，二次、五次和偶数次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式，并分别作出它们的曲线图。实验2clcclearn=input('请输入多项式拟合次数：');symstfori=1:nf(i)=t^(i);endx=[3456789]';y=[2.012.983.505.025.476.027.05]';m=length(x);fori=1:mforj=1:nhs=inline(f(j),'t');A(i,j)=hs(x(i));endendh=ones(m,1);A=[hA];A1=A'*A;y1=A'*y;x1=A1\y1;f=0;fori=1:n+1f=f+x1(i)*t^(i-1);endplot(x,y,'*');holdonx1=flipud(x1);x2=linspace(min(x),max(x));y2=polyval(x1,x2);tt=poly2str(x1,'x')text(5,7,0,tt)plot(x2,y2)实验三实验名称：非线性方程组数值求解的Newton类方法试验。实验目的：用Newton类方法求解线性方程组F(x)=0，理解其解的复杂性、初始点选择策略、减少算法工作量的方法等。实验内容与要求：分别用Newton法用Broyden秩1校正法求解下面非线性方程组121232212333cos()0.5081(0.1)sin1.060120(103)03xxxxxxxxex（1）写出MATLAB源代码；（2）给出迭代五次以上的结果；（3）尝试不同的初值，如可取(0.1,0.1,0.1)）；（4）计算两种方法的用时。实验31、2、采用Newton法·¨clear,clcx0=[0,0,0]';y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0\y0;k=1;formatlongwhilenorm(x1-x0,1)10^(-5)&k100k=k+1;x0=x1;y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0\y0;endx=x1k=k运行结果：x=0.499997120040332-0.007962547035047-0.523798234912383k=45Broyden秩1法clear,clcx0=[0,0,0]';y0=f(x0);A0=df(x0);x1=x0-A0\y0;y1=f(x1);k=1;formatlongwhilenorm(x1-x0,1)10^(-2)&k100000k=k+1;g=y1-y0;y=x1-x0;A1=A0+(g-A0*y)/(y'*y)*y';x0=x1;x1=x0-A1\y1;A0=A1;y0=f(x0);y1=f(x1);endx=x1k=k运行结果，x=0.499997036123973-0.008051039053592-0.523800456021240k=53.尝试不同初值。x0=[0.1,0.1,0.1]采用Newton法·¨x=0.499997123882459-0.007958473536348-0.523798132670848k=68Broyden秩1法x=0.499997037500213-0.008050865464117-0.523800451332104k=7该结果说明，采用不同的初值，对结果没有影响。4、计算两种方法的用时采用Newton法·¨t1=0.005320529317623Broyden秩1法t2=0.002074684482444采用Broyden秩1法运算比较快。