平面向量典型例题

平面向量经典例题：1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()A．－2B．－13C．－1D．－23[答案]C[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－1B．－3C．－3D．1[答案]C[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()A．－611B．－116C.611D.116[答案]C[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]B[解析]如图，在▱ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.12B.13C.14D.15[答案]A[解析]∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，设|b|＝x，则1＋x2－x＝34，∵x0，∴x＝12.4.若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC必定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝AB→·AC→＝0，∴AB→⊥AC→，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．5.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为()A．－a＋3bB．a－3bC．3a－bD．－3a＋b[答案]B[解析]设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴λ＝1μ＝－3，∴c＝a－3b，故选B.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b[答案]B[解析]∵E为OD的中点，∴BE→＝3ED→，∵DF∥AB，∴|AB||DF|＝|EB||DE|，∴|DF|＝13|AB|，∴|CF|＝23|AB|＝23|CD|，∴AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋23CD→＝a＋23(OD→－OC→)＝a＋23(12b－12a)＝23a＋13b.6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值为()A．19B．14C．－18D．－19[答案]D[解析]据已知得cosB＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB→·BC→＝|AB→|×|BC→|×(－cosB)＝7×5×－1935＝－19.7.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A．12B．23C．32D．6[答案]D[解析]a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝6，等号在x＝12，y＝1时成立．8.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，实数x为()A．－1B．0C.－1＋52D.1＋52[答案]A[解析]x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，∴x2OA→＋(x－1)OB→＋OC→＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．最大值为8B．最小值为2C．是定值6D．与P的位置有关[答案]C[解析]以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)，∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|AD→|的最小值是()A.12B.32C.2D.22[答案]D[解析]∵∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1，∴|AB→|·|AC→|＝2，∴|AB→|2＋|AC→|2≥2|AB→|·|AC→|＝4，∵D为BC边的中点，∴AD→＝12(AB→＋AC→)，∴|AD→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(|AB→|2＋|AC→|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD→|≥22.10.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE→＝13AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为()A.15B.14C.13D.12[答案]A[解析]如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知AK→＝15AC→，∴λ＝15.11.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为()A.12B．2C．－2D．－12[答案]C[解析]ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由条件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，∴m＝－2，故选C.12.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→等于()A．2B．3C．4D．6[答案]B[解析]CM→·CB→＝(CA→＋AM→)·CB→＝(CA→＋13AB→)·CB→＝CA→·CB→＋13AB→·CB→＝13|AB→|·|CB→|·cos45°＝13×32×3×22＝3.13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.[答案]152[解析]由条件知，|AB→|＝|AC→|＝|BC→|＝3，〈AB→，AC→〉＝60°，〈AB→，CB→〉＝60°，CD→＝23CB→，∴AB→·AD→＝AB→·(AC→＋CD→)＝AB→·AC→＋AB→·23CB→＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.14.已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________．[答案]－255。[解析]a在b方向上的投影为a·b|b|＝－25＝－255.15.已知向量a与b的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.[答案]1[解析]∵〈a，b〉＝2π3，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos2π3＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.16.已知：|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R＋)，则mn＝________.[答案]3[解析]设mOA→＝OF→，nOB→＝OE→，则OC→＝OF→＋OE→，∵∠AOC＝30°，∴|OC→|·cos30°＝|OF→|＝m|OA→|＝m，|OC→|·sin30°＝|OE→|＝n|OB→|＝3n，两式相除得：m3n＝|OC→|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn＝3.17.(文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i＋j，OB→＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．[答案]5[解析]由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴OA→·OB→＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos〈OA→，OB→〉＝55cos〈OA→，OB→〉，∴cos〈OA→，OB→〉＝－55，∴sin〈OA→，OB→〉＝255，∴S△OAB＝12|OA→|·|OB→|·sin〈OA→，OB→〉＝12×5×5×255＝5.(理)三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)①sinA＋cosA＝15②AB→·BC→0③b＝3，c＝33，B＝30°④tanA＋tanB＋tanC0.[答案]④[解析]若A为锐角，则sinA＋cosA1，∵sinA＋cosA＝15，∴A为钝角，∵AB→·BC→0，∴BA→·BC→0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；由正弦定理bsinB＝csinC得，3sin30°＝33sinC，∴sinC＝32，∴C＝60°或120°，∵c·sinB＝332，333233，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．④由tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC0，及A、B、C∈(0，π)，A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，∴△ABC为锐角三角形．18.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．(1)若a⊥b，求x的值．(2)若a∥b，求|a－b|.[解析](1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝25.19.已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(3cosx，－12)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)将函数f(x)的图象向左平移π6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标．[解析](1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1＋3sinxcosx＋12－2＝1－cos2x2＋32sin2x－12＝32sin2x－12cos2x＝sin(2x－π6)，∴周期T＝2π2＝π.(2)向左平移π6个单位得，y＝sin[2(x＋π6)－π6]＝sin(2x＋π6)，横坐标伸长为原来的3倍得，g(x)＝sin(23x＋π6)，令23x＋π6＝kπ得对称中心为(3kπ2－π4，0)，k∈Z.20.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋sinC的取值范围．[解析](1)由m∥n知c－aa＋b＝b－ac，即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cosB＝12，得B＝π3.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋π3)＝sinA＋12sinA＋32cosA＝32sinA＋32cosA＝3sin(A＋π6)，∵B＝π3，∴A＋C＝2