2017培优数学

2016—2017（下）第二次培优（考试时间：100分钟，总分120分）命题人：王高良审核人：衡帅杰一．选择题（每小题3分共30分）1．在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是（）A．0B．﹣πC．D．﹣42．下列计算正确的是（）A．a3÷a2=aB．（﹣2a2）3=8a6C．2a2+a2=3a4D．（a﹣b）2=a2﹣b23．随着时代的发展，纳米机器人被广泛应用于医疗进行微创手术，一种重量为0.0000204千克，机身由碳纤维制成，被称为“血管清道夫”的纳米机器人是全球最小机器人，0.0000204用科学计数法可表示为()A．2.04×10-5B．2.04×10-6C．20.4×10-7D．204×10-84．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是()A．37πcm2B．6πcm2C．8πcm2D．12πcm25.要使代数式12aa有意义，则a的取值范围是（）A.0aB.21aC.0a且21aD.一切实数6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7.若抛物线12xxy与x轴的交点坐标为)0,(m，则代数式20132mm的值为()A.2012B.2013C.2014D.20158．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．如图是张磊家2015年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的学校班级姓名学号座号密封线内不要答题第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（）A．0.5元、0.6元B．0.4元、0.5元C．0.3元、0.4元D．0.6元、0.7元9．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．10．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2015A2016B2016（n是正整数）的顶点A2016的坐标是（）A．（4031，）B．（4031，－）C．（4033，）D．（4033，－）二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算﹣（﹣2）﹣2﹣（﹣2）0﹣2cos60°=．12．2015年，我国筹备成立亚洲基础设施投资银行（亚投行）．据统计，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资，将8000000000000用科学记数法表示应为．13．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．14．如图，已知矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于E，则图中阴影部分的面积是．15．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．三、解答题（共75分）16．（8分）先化简，再求值：12211112)(xxxx，其中x是满足点Ｍ（x+2,x-2）在第四象限的整数值．17．（9分）2016年3月22日是第二十四届“世界水日”，我国纪念2016年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“落实五大发展理念，推进最严格水资源管理”，小明同学为了解本校同学对“世界水日”的了解情况，从本校七、八、九年级学生中各随机抽取100人进行问卷调查，这些同学都交回了调查问卷，并都对“了解”和“不了解”这两个选项做了唯一的选择，小明根据所得数据绘制了统计图如下，根据相关信息，解答下列问题．（1）求抽取的学生中了解“世界水日”的人数；（2）求抽取的八年级学生中了解“世界水日”的人数，并补全条形统计图；（3）本校七、八、九年级各有学生500名，估计全校学生了解“世界水日”的人数．18．（9分）有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2﹣（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．19．（9分）如图，李明在大楼27米高（即PH=27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA=15°，山脚B处的俯角∠QPB=60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求AB的长（结果保留根号）．20．（9分）如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE．（1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明．（2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．21．（10分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．22．（10分）（1）问题背景Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，CD，如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比探索：若将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“AB=kBC，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由．23．（11分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断△ABC的形状，并加以说明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有个．