[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：第四课柯西不等式与排序不等式1

第三讲柯西不等式与排序不等式排序不等式三虎林高级中学栾红民先思考一个具体的数字计算题：思考1.已知两组数1，2，3和4,5,6,若123,,ccc是4，5，6的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.分析:利用排列组合的知识可知共有6个不同的和数，本题可以直接计算比较得答案.如果数大一点呢?思考2.已知两组数1，2，3和45,25,30,若123,,ccc是45，25，30的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.3228220180可以通过直觉猜测到答案.对应关系和备注（1,2,3）（25,30,45）1112233220Sababab同序和（1,2,3）（25,45,30）2112332205Sababab乱序和（1,2,3）（30,25,45）3122133215Sababab乱序和（1,2,3）（30,45,25）4122331195Sababab乱序和（1,2,3）（45,25,30）5132132185Sababab乱序和（1,2,3）（45,30,25）6132231180Sababab反序和发现:反序和≤乱序和≤顺序和.?,?,:.,,,.,.,,,,,,.,,,,,,,,.,小个三角形的面积之和最使得到的才能如何一一搭配个三角形面积之和最大得到的才能使边上的点如何一一搭配边上的点与问不同因而三角形面积也可能不同得到的不同搭配的方法显然个三角形得到一共可以这样一一搭配得到连结某个点与选取某个点边也依次取点沿个点边依次取沿自点设如图探究nnOBOAOBAnOBAnjBjniABBBOBAAAnOAOAOBjijiinn212113321211B2BO1A2AiAnAjBnBAB133.图.,,.,,,,,nnjjiibbbbaaaanJibOBaOA32132121得由已知条件设:,,sin,sin代数问题归结为下面的上面的几何问题就可以于是数是常而的面积是因为2121jijibaOBA?,,,,,,,何时取得最大值个乘积的和问以下的的任何一个排列是数组nnnncacacaSnbbbccc22112121.:,..,,,,,,,,21332211212312112121SSSbabababaSbabababaSbbbaaaSnnnnnnnn下面的不等式应该成立几何直觉告诉我们作同样的定义我们对一般的实数组也称为和的按相同顺序相乘所得积称为所得积的和其中按相反顺序相乘的和叫做数组我们把上面的和乱序和反序和顺序.顺序和乱序和即反序和和.,,,,,,,反序和是否最小最大看看顺序和是否试试和例如数不妨用两组为初步检验上面的直觉探究654321..,明下面我们进行一般性证直觉一定正确但这还不能完全说明致检验的结果会与直觉一.,!,!,,,,,,,,,,,,最大值和最小值其中必有个数个的不同的值也只有有限所以个的全排列只有因为的任一排列是数为两组设证明ncacacaSnbbbbbbcccbbbaaannnnnnn22112121212121①.,,,kkcckbcbc11111则有某若式考虑①nnkkkcacacaScc111`,,得对换中将①②.`0111111kkkkkkccaacacacacaSS得②①.,和式不减小后中的第一项调换为这说明将11ba①.,,并进行类似讨论则转而考察若211cbc.,,,,和式不减小后项换为第二中的第一项换为将可以证明类似地2211baba①.,,,,,2SSci即最大和数是顺序和排序的情况由小到大能是数组大和数所对应的情况只最可知一切和中经有限步调整如此继续下去.,,11SS即最小和数是反序和同样可证..是正确的面的直觉至此我们已经证明了前因此21SSS?,?么什么条件下两者相等那如果能能相等吗与反序和顺序和思考12SS..,,,212121SSSbbbaaann即顺序和等于反序和时或当容易发现,,.,),(,,,,,,,,,,,,jkilljkikklljjiikljinnbabababababababaSSbbaanklklnjijibbbaaa2212111考虑和数的方法用类似上面证明使得和则一定可以找到也不全相等并且不全相等如果事实上,jkilkjlikklljjiibabababababababaSS2.,,,SSbbaaSSSlkij即而且的形式这两个和数都符合前面可以看出0.21SSSS进而得得归结上面证明的结论,.,.,,,,,,,,,,序和等于顺序和反时或当且仅当那么的任一排列是为两组实数设又称排序原理排序不等式定理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbcccbbbaaainequalitysequence212122112211112121212121..,,,式的应用下面举例说明排序不等不等式得到证明助排序许多重要不等式可以借便于记忆和使用明了它的思想简单重要的不等式排序不等式也是基本而??,,.,,,,,总时间等于多少这个最少的少使他们等候的总时间最人的顺序个应如何安排问只有一个水龙头时各不相同假定这些分钟个人的水桶需要第设水龙头注满人各拿一只水桶去接水有例101021101iittii;,.,,分人所需等候的总时间是接这桶水时分若第一个接水的人需为数学问题即转化需要将它数学化这是一个实际问题分析111010tt第二个接水的人;,分人所需等候的总时间是接这桶水时分需2299tt.,,,分需要只有他一人在等人接水时到第如此继续下去1010t人都接满水所需的按这个顺序所以10,,.1021910ttt是分等待总时间.,,,,最小满足什么条件这个和数现在考虑学模型这个和数就是问题的数1021ttt.1021910ttt是分等待总时间解.,,时间取最小值总时当根据排序不等式1021ttt,,,人等候的总时间最少依次接水按水桶的大小由小到大这就是说10这个最少时间是.1021910ttt.1021ttt其中例1：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根据排序不等式，当t1t2…t9t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是:10t1+9t2+…+2t9+t10122221122121212,,...,......,,,...,,,..,1.nnnnnnaaaacacacaaacccaaa为实数，证明：其中是的.设任一排列。练习.,,,,22322121321312112naaaannaaann求证个互不相同的正整数是设例..,,,,,,,,,,,,,证明的思路不等式由此可以联想到用排序对应另一列数是可以猜想到与子观察问题中的式排序此它们可以从小到大地因个互不相同的正整数是分析2222121131211naaanaaann.,,,,,,,nnnbbbaaabbb212121且满足的一个排列是设证明.,,,,,,,nbbbbbbnn212121故是互不相同的正整数因得由排序不等式又因,,222131211n2232212232213232nbbbbnaaaann222131321211nn.n1312113332222.,,2()()()().abcabcabcbaccab已知为正数，用排序不等式证明练习121121212121121111212222,...,.........................nnnnnnnnnnnnabcccbbabaababaabbacaababcbaaabbbacn定理（排序不等式，又称排序定理）设为两组实数是的任一排列，那么：当且仅当或时,反序和等，b于顺序和。反序和≤乱序和≤顺序和