2010届高考专题复习：31导数的应用(1)(理)ppt课件

一、复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.二、重点解析对于可导函数f(x),先求出f(x),利用f(x)0(或0)求出函数f(x)的单调区间;利用f(x)=0,求出f(x)的极值点,把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较,求出最值.如果函数在区间内只有一个点使f(x)=0,此时函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值.如果应用导数解决实际问题,最关键的是要建立恰当的数学模型(函数关系),然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.1.函数的单调性三、知识要点(1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)0,则y=f(x)为减函数,(2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间单调递增(或减),则在该区间内f(x)≥0(或f(x)≤0).注当f(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例f(x)=x3在(-1,1)内,f(0)=0,f(x)0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.极大值与极小值统称为极值.是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)2.函数极值的定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作:y极大值=f(x0);3.判断f(x0)是极值的方法(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.一般地,当函数f(x)在点x0处连续时4.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程f(x)=0的根;5.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x)=x,x(-1,1).6.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)求导数f(x);(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.典型例题1已知aR,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解:函数f(x)的导数f(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.(1)当a=0时,由f(x)0得x0;由f(x)0得x0.∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),(2)当a0时,由f(x)0得-x0;2a2a由f(x)0得x-或x0.∴f(x)的单调递减区间为(-,0);2af(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(0,+∞).2a(3)当a0时,由f(x)0得x0或x-;2a由f(x)0得0x-.2a∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(-,+∞);2af(x)的单调递增区间为(0,-).2a典型例题2已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,∴f(x)=3x2-2ax-4.(2)由f(-1)=0得,a=.12∴f(x)=3x2-x-4.由f(x)=0得,x=-1或.43∵f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,92432750∴f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-.922750(3)∵f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),∴由题设得f(-2)≥0且f(2)≥0.∴8+4a≥0且8-4a≥0.∴-2≤a≤2.故a的取值范围是[-2,2].典型例题3解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).f(x)=-1,1+x1令f(x)=0得x=0.当-1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0.又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值为0.(2)由题设g(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g(),a+x2已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0ab,证明:0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.a+b2则F(x)=lnx-ln,a+x2当0xa时,F(x)0,F(x)在(0,a)内为减函数;当xa时,F(x)0,F(x)在(a,+∞)上为增函数.从而当x=a时,F(x)取极小值F(a)=0.∵ba,∴F(b)0.∴0g(a)+g(b)-2g().a+b2又设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G(x)=lnx-ln(a+x).∵当x0时,G(x)0,∴G(x)在(0,+∞)上为减函数.而ba,G(a)=0,∴G(b)0.∴F(b)(b-a)ln2.即g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.a+b2a+b2∴0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.典型例题4设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.解:(1)∵函数f(x)的图象过点P(t,0),∴f(t)=0t3+at=0.∵t0,∴a=-t2.又∵函数g(x)的图象也过点P(t,0),∴g(t)=0bt2+c=0.∴c=ab.∵两函数的图象在点P处有相同的切线,∴f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,∴3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.∴c=ab=-t3.综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.(2)方法一y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y=(3x+t)(x-t)0时,y=f(x)-g(x)为减函数.由y0,若t0,则-xt;若t0,则tx-.3t3t∵函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,∴(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-).3t3t∴t≥3或-≥3.3t∴t≥3或t≤-9.∴t的取值范围是(-∞,-9]∪[3,+∞).(2)方法二y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=(3x+t)(x-t).∵函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,∴y=(3x+t)(x-t)≤0对于x(-1,3)恒成立.则y|x=-1≤0且y|x=3≤0.即(-3+t)(-1-t)≤0且(9+t)(3-t)≤0.解得t≥3或t≤-9.∴t的取值范围是(-∞,-9]∪[3,+∞).典型例题5已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.(1)解:∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立.∴d=0.∴f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.∵当x=1时,f(x)取得极值-2,∴f(1)=-2且f(1)=0.∴a+c=-2且3a+c=0.∴a=1,c=-3.∴f(x)=3x2-3.由f(x)0得-1x1;由f(x)0得x-1或x1.∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.∴当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2.故函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);f(x)的极大值为2.典型例题5已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.(2)证:由(1)知f(x)=x3-3x在[-1,1]上是减函数,且f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在[-1,1]上的最小值m=f(1)=-2,∴对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.典型例题6若二次函数f(x)满足:①在x=1处有极值;②图象过点(0,-3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(xex),x[0,1]的值域.(3)若曲线y=f(ex)上任意不同两点的连线的斜率恒大于a+,求a的取值范围.1a解:(1)由已知可设f(x)=ax2+bx+c(a0),∵函数f(x)的图象过点(0,-3),∴f(x)=x2-2x-3.∴f(0)=-3.∵f(x)在x=1处有极值,∴c=-3.则f(x)=2ax+b.∴f(1)=0.∴2a+b=0.∵f(x)的图象在点(0,-3)处的切线与直线2x+y=0平行,∴f(0)=-2.∴b=-2.∴a=1.(2)设u=xex,则u=ex+xex.∵x[0,1]时,u0,∴u(x)是[0,1]上的增函数.∴0≤u≤e.∵f(u)=(u-1)2-4,∴g(x)在[0,1]上的值域是[-4,e2-2e-3].(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(ex)上任两点,不妨x1x2.解得a0.∵x1-x20,∵f(x)=2x-2,∵曲线y=f(ex)上任不同两点连线的斜率恒大于a+,1a1a∴a+.y1-y2x1-x2∴y1-y2(x1-x2)(a+),即1af(ex1)-f(ex2)(x1-x2)(a+),亦即1af(ex1)-x1(a+)f(ex2)-x2(a+)恒成立.1a1a∴函数h(x)=f(ex)-x(a+)是增函数.1a∴h(x)=f(ex)-(a+)≥0恒成立.1a∴a+≤(2ex-2)ex=2(ex-)2-恒成立.1a1212而2(ex-)2-当x=ln时取最小值-,121212121a∴a+≤-.122a2+a+2a即≤0.故a的取值范围是(-∞,0).解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f(-1)=f(1)=0.解得a=1,b=0.∴3a-2b-3=0且3a+2b-3=0.∴f(x)=3x2-3.由f(x)0得-1x1;课后练习1已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.由f(x)0得x-1或x1.∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.∴f(-1)