弹性力学热应力

十一章热应力当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学,根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。第一节温度场与热传导的基本概念第二节热传导方程第三节温度场的边值条件第四节按位移求解温度应力的平面问题第五节微分方程的求解第六节轴对称温度场平面热应力问题第七节稳定温度场的差分解第八节应力函数差分解第一节温度场与热传导的基本概念当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。一基本概念1.温度场在同一时间，物体内各点处温度值的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。即T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化，称为稳定温度场。2.等温面任一瞬间，同一温度场内温度相同的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动，温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化率最快。3.温度梯度沿着等温面的法线方向，指向温度增大的方向，其大小等于，取沿等温面法线方向的单位矢量为n0。则nTT0nn0为沿等温面法线方向的单位矢量。若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置坐标变化而变化，称为平面温度场。(1)温度梯度在各坐标轴的分量为:4.熱流密度单位时间内通过等温面面积的热量，称为热流速度，用dQ表示，通过单位等温面面积的热流速度称为热流密度，即StQqddq熱流密度S等温面面积(2)熱流密度的矢量表示为StQdd0nq5.热传导基本定率热流密度与温度梯度成正比且方向相反。Tλ为导热系数.由上述公式(1)、(3)、(4)得SnTtQdd(3)(4)q(5)式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。由式（1）和（4）知nTq热流密度在坐标轴上的投影),cos(xnnTqx),cos(ynnTqy),cos(znnTqz(6)式（6）与式（2）比较得xTqxyTqyzTqz式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。(7)第二节热传导微分方程的推导1.热平衡原理在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。2.热传导微分方程的推导如图取微小六面体dxdydz,假定该六面体的它所积蓄热量是温度在dt时间内升高了，tTρcdxdydzdt,tT其中ρ是物体密度，c是比热容。在时间dt内，由六面体ABA’B’面传入的热量为qxdxdydzdt,由CDC’D’面传入的热量为由式tzyxxqxddddtzyxxqqxxddd)d(传入的静热量为：xTqxtzyxxTtzyxxqxdddddddd22同样可得：由ADD’A’和BCC’B’两面传入的静热量为：由ABCD和A’B’C’D’两面传入的静热量为：tzyxyTdddd22tzyxzTdddd22因此，传入微小六面体的总静热量为：tzyxzTyTxTdddd)(222222假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生的热量为Wdxdydzdt根据热量平衡原理得：化简得：cWzTyTxTctT)(222222记称为温度系数,上式可简写为：tzyxzTyTxtzyxtTcTdddd)(dddd222222ca这就是热传导微分方程。cWzTyTxTatT)(222222第三节温度场的边值条件为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体表面与周围介质之间热交换的规律,即所谓边界条件。二者合成边值条件。初始条件一般表示如下：(T)t=0=f(x,y,z)边界条件有四种形式：第一类边界条件已知物体表面上任一点在所有瞬间的温度，即：Ts=f(t)其中Ts表示物体表面的温度。第二类边界条件已知物体表面上任一点点处的法向热流密度，即：(qn)s=f(t)第三类边界条件已知物体边界上任一点在所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度和两者的温差成正比。即：(qn)s=β(Ts-Te)其中：β放热系数Ts物体表面温度Te周围介质温度nTqsn)()(esTTnT或第四类边界条件以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即：Ts=Te设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数,弹性体内各点的形变分量为：第四节按位移求解温度应力的平面问题εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产生温度应力。因而总的形变分量为：TEzxyy)]([1TEzyxx)]([1TExyzz)]([1yzyzE)1(2xxzxE)1(2xyxyE)1(2(8)如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。因而有TEyxx)(1TExyy)(1xyxyE)1(20,0zxyzz并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分量的物理方程，即热弹力学物理方程：(9)由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所表示的应力分量物理方程：1)(12TEEyxx1)(12TEExyy)1(2xyxyE其中ijjiijxuxu21(11)(10)将式（11）代入式（10）得：)()1(21)(11)(122yuxvETExuyvETEyvxuExyyx为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。又平面平衡微分方程为：在此体力为零，0b,ijjiF(12)(13)将式（13）代入（12）并化简得：0)1(212122222xTyxvyuxu0)1(212122222yTyxuxvyv又据平面问题的应力边界条件得：Tlxvyulyvxulss)1()(21)(121Tlxvyulxuyvlss)1()(21)(212(14)(15)把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想体力,1bxTEFxyTEFy1b和假想面力11TElpx12TElpy所引起的应力。平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得物理方程：TEyxx)1()1(12TExyy)1()1(12xyxyE)1(2因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方程中的则得到在平面应变条件下的相应方程。ν换成α(1+α)21E1E换成α换成在求解微分方程（14）时，应分两步进行。1.求出微分方程的任一组特解。2.不计变温T,求出微分方程的一组补充解，并使它和特解叠加以后满足边界条件。为了求得微分方程的一组特解，引用一个函数φ（x,y），使第五节微分方程的求解xu'yv'u.’v’为微分方程的特解。xTyxx)1(2333xTxyy)1(2333即为xTyxx)1()(2222yTyxy)1()(2222又u.v都是常量，所以取：Tyx)1(2222代入微分方程（14）并化简得：时，φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方程(14)的一组特解。(16)将xuyv及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：22'1yEx22'1xEyyxExy2'1位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程02121''22''22''2yxvyuxu02121''22''22''2yxuxvyv相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出)(1''''2''yvxuEx)(1''''2''yvxuEy)()1(2''''''yuxvExy从而得总的位移分量：u=u’+u’’v=v’+v’’并满足位移边界条件。'''xxx'''yyy'''xyxyxy满足应力边界条件。在平面应变条件下，将上述各方程中的换成α(1+)。21E1总的应力分量：E换成α换成下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于该类问题，由于只存在位移分量，故可直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a,b，不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程01bF021bF中的第二式自然满足，而第一式成为：0第六节轴对称温度场平面热应力问题几何方程：uuu1uuu1)(1E)(1E中的第三式自然满足，第一，二式成为：uu,dd物理方程：EG)1(21中的第三式自然满足，而第一，二式成为：TE)(1得按位移求解轴对称热应力的基本方程：dd)1(dd1dd222TuuuTE)(1TEE1)(12TEE1)(120再代入代入uu,dd可表示为上式改写：dd)1()(dd1ddTu积分两次可得到轴对称问题位移分量：21d)1(ccTua式中c1,c2为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。由上式可得应力分量：22122)1()1[(1dccETEaTEccETEa22122)1()1(1d0在无面力条件下，由边界条件0)(a0)(b可求出积分常数：babaTabacTabcd)1(,d)1(2222221(17)将它们代入(17)得:abaTTabaEdd22222222222ddTTTabaEaba对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为：abaTTabaEdd)1(22222)dd()1(222222TTTabaEaba