张齐华--加法运算律

教学《交换律》（张齐华）师：喜欢听故事吗？生：喜欢。师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。(故事略)听完故事，想说些什么吗？结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。师：观察这一等式，你有什么发现？生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。(教师板书这句话)师：其他同学呢？(见没有补充)老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师随即出示：交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论，你想说些什么？生2：我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例，但他(生1)给出的结论能代表许多情况。生3：我也同意他(生2)的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得——生：验证。验证猜想，需要怎样的例子？师：怎么验证呢？生1：我觉得可以再举一些这样的例子？师：怎样的例子，能否具体说说？生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可这一想法）师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？生2：五、六个吧。生3：至少要十个以上。生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的位置和变了呢？（有人点头赞同）生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三、四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家行吗？学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例。师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。（教师展示如下两种情况：1．先写出12＋23和23＋12，计算后，再在两个算式之间添上“＝”。2．不计算，直接从左往右依次写下“12＋23＝23＋12”。）师：比较两种举例的情况，想说些什么？生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。（大家对生6、生7的发言表示赞同。）师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？（几位同学不好意思地举起了手。）师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？生8：我举了三个例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。生9：我也举了三个例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之。）师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。生11：我不同意。如果举得例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。（多数学生表示赞同。）师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？教师出示作业纸：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换——生：任意两个加数的位置和不变。师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置和变了？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？生：能。（教师重新将“？”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”）师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其它收获？生：我发现，只举一、两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。师：从“朝三暮四”的寓言中，我们得出“3+4＝4+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例，验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？（学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书。）师：在这一规律中，变化的是两个加数的――（板书：变）生：位置。师：但不变的是――生：它们的和。（板书：不变）师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。结论，是终点还是新的起点？师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”那么，在——生1：（似有所悟）减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？（学生中随即有人作出回应，“不可能，差肯定会变。”）师：不急于发表意见。这是他（生1）通过联想给出的猜想。（教师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变？”）生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变？（教师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变？”）生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗？（教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变？”）师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其它变换，形成不一样的新猜想吗？生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？师：这是一个与众不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。(教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置和不变？”)现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。（学生选择猜想，举例验证。教师参与，适当时给予必要的指导。然后全班交流。）师：哪些同学选择了“猜想一”，又是怎样验证的？生5：我举了两个例子，结果发现8－6＝2，但6－8却不够减；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5却不够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。师：根据他举的例子，你们觉得他得出的结论有道理吗？生：有。师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，3－3＝0，交换两数的位置后，3－3还是得0；还有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，这样的例子多着呢。生6：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就不行了。生7：我还有补充，我只举了一个例子，2－1≠1－2，我就没有继续往下再举例。师：哪又是为什么呢？生7：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想肯就错了。师：同学们怎么理解他的观点。生8：（略。）生9：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称作“正例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称作――生：反例。（有略。）师：关于其它几个猜想，你们又有怎样的发现？生10：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置积也不变。师：能给大家说说你举的例子吗？生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。（另有数名同学交流自己举的例子，都局限在整数范围内。）师：那你们都得出了怎样的结论？生11：在乘法中，交换两数的位置积不变。生12：我想补充。应该是，在整数乘法中，交换两数的位置积不变，这样说更保险一些。师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？（对猜想三、四的讨论略。）随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题（略），从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解，并借助实际问题，沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系。怎样的收获更有价值？师：通过今天的学习，你有哪些收获？生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。师：只有一个例子，行吗？生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。（作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。“真有意思，”天文学家说：“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。”数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）必要的拓展：让结论增殖！师：在本课即将结束的时候，依然有一些问题需要留给大家进一步展开思考。（教师出示如下算式：20－8－6○20－6－8;60÷2÷3○60÷3÷2）师：观察这两组算式，你发现什么变化了吗？生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置，第二组算式中，两个除数也交换了位置。师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？这些结论和我们今天得出的结论有冲突吗，又该如何去认识？