空间向量解立体几何题讲义(自编精品)

空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、空间直角坐标系2、空间向量的坐标表示及运算3、空间向量的数量积、模及夹角公式4、空间向量的平行和垂直的充要条件5、直线的方向向量6、平面的法向量7、空间向量的应用（1）证明：平行；垂直（2）计算：角；距离【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）（一）空间直角坐标系1、建立以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，即三条坐标轴．称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，如图所示。注：作空间直角坐标系Oxyz时，一般使135xOy（或45），90yOz。2、（正交）基底用kji,,表示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算1、坐标表示给定空间直角坐标系Oxyz和向量a，设,,ijk为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)aaa，使123aaiajak，有序实数组123(,,)aaa叫作向量a在空间直角坐标系ykiA(x,y,z)OjxzykiykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)OOjxzjxzOxyz中的坐标，记作123(,,)aaaa，其中1a叫横坐标，2a叫纵坐标，3a叫竖坐标．若),,(zyxA，则),,(zyxOA，如右图所示。若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz，如右下图所示。2、坐标运算若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则（1）112233(,,)abababab（2）112233(,,)abababab（3）123(,,)()aaaaR（三）空间向量的数量积、模及夹角公式1、设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||规定：零向量与任一向量的数量积为02、模长公式：222||zyxaaa，其中zyxa,,3、夹角公式：cos||||ababab（四）空间向量的平行和垂直的充要条件1、//abba112233()babaRba2、00212121zzyyxxbaba，其中ba,是两个非零向量）（五）直线的方向向量把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量（六）平面的法向量若表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量。在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量为(,,)nxyz；③在平面内找两个不共线的向量111(,,)axyz和222(,,)bxyz；④建立方程组：00nanb；⑤解方程组，取其中的一组解即可。（七）空间向量的应用1、证明平行和垂直（1）证明两直线平行已知两直线a和b,bDCaBA,,,,则ba//存在唯一的实数使ABCD（2）证明直线和平面平行已知直线aBAa,,和平面的法向量n,则a∥0nABnAB（3）证明两个平面平行已知两个不重合平面,,法向量分别为nm,,则∥m∥n（4）证明两直线垂直已知直线ba,，bDCaBA,,,，则0CDABba（5）证明直线和平面垂直已知直线a和平面，A、Ba,平面的法向量为n,则ABa∥n（6）证明两个平面垂直已知两个平面和及两个平面的法向量n，m,则mn2、求角与距离（1）求两异面直线所成的角已知两异面直线ba,，且bDCaBA,,,，则异面直线ba,所成的角的计算公式为：||||||cosCDABCDAB（2）求直线和平面所成的角已知A,B为直线a上任意两点，n为平面的法向量，则a和平面所成的角为:①当2,0,nAB时，nAB,2；②当,2,nAB时，2,nAB（3）求二面角已知二面角,lnm,分别为面,的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即nm,或nm,注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？①通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。②通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。（4）求两条异面直线的距离已知两条异面直线ba,,m是与两条异面直线都垂直的向量,且bBaA,，则两条异面直线的距离为||||mmABd推导：作AC，垂足为C，连结BC，dAC即为所求，设BAC，则|||||||||||||,cos|||cos||mmABmABmABABmABABABdNMABDCO（5）求点到面的距离已知平面和点BA,，BA,,m为平面的法向量，则点A到平面的距为||||mmABd推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1（2008安徽理）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是四边长均为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖（Ⅱ）求异面直线AB与DM所成角的大小；（Ш）求点B到平面OCD的距离.例2（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：1BOAC；（Ⅱ）求二面角1OACO的大小.ACDOO1BOCO1D例3(2007四川理）如图，PCBM是直角梯形，090PCB，PM∥BC，1PM，2BC，又1AC，0120ACB，PCAB，直线AM与直线PC所成的角为60°（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角BACM的大小；（Ⅲ）求三棱锥MACP的体积.四、练习题1、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2BDCDCBCA,2ADAB.（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；CADBOE（III）求点E到平面ACD的距离.2、(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO平面ABC；（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．3、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体1111DCBAABCD的对角线1BD上，060PDA（Ⅰ）求DP与1CC所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面DDAA11所成角的大小.OSBACB1C1D1A1CDABP4、（2007安徽文、理)如图,在六面体1111DCBAABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形1111DCBA是边长为1的正方形,1DD平面1111DCBA,1DD平面ABCD，21DD(Ⅰ)求证:11CA与AC共面，11DB与BD共面；(Ⅱ)求证:平面1111BDDBACCA平面；(Ⅲ)求二面角CBBA1的大小.5、(2006全国Ⅰ卷文、理)如图，1l、2l是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在1l上，点C在2l上，AMMBMN。（Ⅰ）证明NBAC；(Ⅱ)若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值。ABMNCl2l1H例题及练习题参考答案例1解：作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系，则222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),222ABPD)2,0,0(O，)1,0,0(M，)0,42,421(NxyzNMABDCOP(Ⅰ)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0ODnOPn即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n∵02,4,01,42,421nMN∴MN∥平面OCD(Ⅱ)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵∴21||||||cosMDABMDAB∴3,即AB与MD所成角的大小为3(Ⅲ)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量)2,4,0(n上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得32||||nnOBd.所以点B到平面OCD的距离为23例2解:（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标是)0,0,3(A，)0,3,0(B，)3,1,0(C,)3,0,0(1O.从而)3,3,0(),3,1,3(1BOAC，.03331BOAC所以AC⊥BO1.（II）解：因为,03331OCBO所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量.设),,(zyxn是0平面O1AC的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取得)3,0,1(n.设二面角O—AC—O1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以coscosn，1BO=.43||||11BOnBOn例3解：（Ⅰ）∵,,PCABPCBCABBCB∴PCABC平面，又∵PCPAC平面∴PACABC平面平面（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有)0,21,23(A设000,0,0Pzz，则000310,1,,,,,0,0,22MzAMzCPz由直线AM与直线PC所成的解为060，得0cos60AMCPAMCP，即2200032zzz，解得10Z∴310,0,1,,,022CMCA，设平面MAC的一个法向量为111,,nxyz，则1111031022yzyz，取11x，得1,3,3n,平面ABC的法向量取为0,0,1m设m与n所成的角为，则3cos7mnmn,显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角MACB的平面角大小为21arccos7（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴0113sin1203212PMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN（Ⅲ）解法二：取平面PCM的法向量取为11,0,0n，则点A到平面PCM的距离23||||11nnCAh∵1,1PCPM，∴1113311326212PMACAPCMVVPCPMh练习1：(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=3.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AO