线性代数向量的定义与运算

第四章向量空间21122121221111,,,,,,.xyxyxxyyRkkxykxkyR2,|,.RxyxyR221122,,,,xyRxyR平面上的向量的全体：任意,kR规定加法和数乘为：易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律.于是就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律.2R§4.1向量的定义及运算3,,|,,,RxyzxyzR同样，（欧式）空间中的向量视为即实数域上所有三维向量的全体.类似地规定向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条规律.n维行向量和n维列向量都称为n维向量(vector)，n维向量常用小写黑体字母表示.12(,,...,)naaa12naaa将2、3维向量推广到n维向量.定义4.1.1由n个数构成的有序数组，记作称为n维行向量；若记作ia1,2,...,in则称为n维列向量.称数为的第i个分量.例：),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例：n-1次代数多项式121)(nntataatf(,,,)naaa12系数向量n维向量的实际意义：时，维向量没有直观的几何形象．n3n例：确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxa定义4.1.2设两个向量12(,,...,),naaa12(,,...,).nbbb,1,2,,,iiabin1122,,,nnababab1122,,,.nnababab12,,,nkakaka12,,,.nkkakaka则称向量α与β相等，记作α=β.（1）如果它们对应的分量分别相等，即（3）数量乘法：k为实数，称向量（2）加法：称向量为α与β的和，记作为k与α的数乘，记作.12,,,naaa（5）称为α的负向量，记作-α.因而可以定义向量的减法运算：0,0,,0（4）分量全为0的向量称为零向量，记作0（注意区别数零和零向量）.()()1()()()()()()()0()()()()0()()iviiviklkliiiviikkkivviiiklkl对任意的n维向量α,β,γ及任意的数k,l，向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律：向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法与乘法.显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形.1nR定义4.1.3全体n维实行向量构成的集合，对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘运算，构成n维（实）行向量空间；1nR类似地，定义n维（实）列向量空间；1nR1nRnR用符号表示或，称为n维（实）向量空间.例4.1.1设求11,1,2,21,2,0,31,0,3,123212.1,1,221,2,0121,0,31212,140,203611,5,34.解：11221pppiiikkkk12,,...,p12,,...,p得到的向量称为向量组的线性组合，或称可由线性表出.12,,...,,pnR12,,...,,pkkk定义4.1.4给定中的向量实数经线性运算1122xxααα1α22xα11xα2α两个向量的线性组合的几何示意图123,112110,2212000.1212,,,1,0,,00,1,,00,0,,1,nnkkkkkk1.niiike证明：由向量的线性运算，得即12例4.1.2向量和的几个线性组合：12,,,nkkk11,0,,0,e20,1,,0,e,0,0,,1ne例4.1.4证明：任意n维向量是向量组的线性组合.例4.1.5令，能否写成和的线性组合？121272,5,4563121122xx12221227254563xxxxxx解：根据定义，问题即判断向量方程是否有解.即127012016321232.利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：127254563127091801632103012000123,2.xx解是12因此可以写成和的线性组合：1122nnxxx1122TTTTnnxxx12,,,,.TTTTn其增广矩阵为当是行向量空间时，上式两端转置，得nR当是列向量空间时，其增广矩阵为nR12,,,,.n有无解.12,,,n一般地，判断能否由向量组线性表出，即判断向量方程线性方程组的向量表示形式1211212,,,|,,...,.ppppspankkkkkkR12,,,,npR12,,,pnR12,,,,pspan12,,,p定义4.1.5设由的所有可能的线性组合构成的集合称为由张成（生成）的的子集，记为即,span若和是非零向量，且不共线，则表示由向量和确定的平面.span从几何上看，若是非零向量，则表示由向量确定的直线.例4.1.6令则121532,13,8,33112,span3R1532138331202,x12,span最后一个方程是方程组无解，即不在中.是中过原点平面.判断是否位于此平面中.1122,xx12.解：考虑向量方程其增广矩阵为15303201810153032,002知识回顾KnowledgeReview