高等数学(上册)教案17-不定积分的概念和性质

第4章不定积分不定积分的概念和性质【教学目的】：1.理解原函数的概念；2.理解不定积分的定义，及几何意义；3.掌握不定积分的基本公式和性质；4.会用直接积分法计算不定积分。【教学重点】：1.原函数的概念；2.不定积分的概念及几何意义；3.不定积分的基本公式和性质。【教学难点】：1.基本积分公式；2.用直接积分法计算不定积分。【教学时数】：2学时【教学过程】：4.1.1原函数与不定积分定义1如果在区间I上，可导函数)(xF的导数为)(xf，即)()('xfxF或dxxfxdF)()(（Ix），那么函数)(xF就称为)(xf(或dxxf)()在区间I上的原函数．如果)(xf有一个原函数，那么)(xf就有无穷多个原函数．设)(x是)(xf的另一个原函数，则任意的Ix，有)()(xfx．于是0)()()()()()(xfxfxFxxFx所以0)()(CxFx(0C为某个常数)这表明)(x与)(xF只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式CxF)(就可以表示)(xf的全体原函数，也就是说，)(xf的全体原函数所组成的集合，即函数族RCCxF|)(．定义2如果)(xF是)(xf在某区间上的一个原函数，那么CxF)(（C为任意常数）称为)(xf在该区间上的不定积分．即dxxf)(=CxF)(．其中符号称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量．由上面的讨论可知，若)(xF是)(xf的一个原函数，那么dxxf)(=CxF)(（C为任意常数）．因此，求函数)(xf的不定积分，只需求出被积函数)(xf的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：由于dxxf)(是)(xf的原函数，所以)(])(['xfdxxf或dxxfdxxfd)()(．又由于)(xF是)('xF的原函数，所以CxFxdFCxFdxxF)()()()('或．由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．例3求dxx1．解当0x时，由于xx1)(ln'，所以xln是x1在),0(内的一个原函数，因此在),0(内，有Cxdxxln1．当0x时，由于xxx1)1(1)][ln('，所以)ln(x是x1在)0,(内的一个原函数，因此在)0,(内Cxdxx)ln(1．把以上结果综合起来，得Cxdxx||ln1．4.1.2不定积分的几何意义因为不定积分dxxf)(=CxF)(是)(xf的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．积分曲线族CxF)(有如下特点：（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线)(xFy沿y轴方向上、下平移得到；（2）由于)()(])([xfxFCxF，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．4.1.3基本积分公式表（1）kdxkxC（k为常数）；（2）Cxdxx111；（3）Cxdxx||ln1；（4）Caadxaxxln1，Cedxexx；（5）Cxxdxsincos；（6）Cxxdxcossin；（7）Cxxdxdxxtanseccos122；（8）Cxxdxdxxcotcscsin122；（9）Cxdxxarcsin112；（10）Cxdxxarctan112；（11）csccotcscxxdxxC；（12）Cxxdxxsectansec．4.1.4不定积分的性质性质1设函数)()(xgxf及的原函数存在，则dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([．性质2设函数)(xf的原函数存在，k为非零常数，则dxxfkdxxkf)()(．例6求dxeexxx)3(33．解dxedxedxdxxdxeexxxxx33333)3(Cxeexxx3433ln141．注意到被积函数中3x是幂函数，x3和xe是指数函数，而3e是常数，它们的积分公式是不同的．【教学小节】：通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。【课后作业】：无