研究生计量经济学讲义(1)

计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山AppliedEconometricTimeSeries预备知识随机过程与时间序列在给出平稳以及非平稳过程概念之前，经常会涉及两个重要概念，即随机过程和时间序列。Inprobabilitytheory,astochasticprocess(pronunciation:/stoʊˈkæstɪk/),orsometimesrandomprocess(widelyused)isacollectionofrandomvariables;thisisoftenusedtorepresenttheevolutionofsomerandomvalue,orsystem,overtime.Thisistheprobabilisticcounterparttoadeterministicprocess(ordeterministicsystem).（随机过程与确定性过程相对应）Inthesimplecaseofdiscretetime,astochasticprocessamountstoasequenceofrandomvariablesknownasatimeseries.1计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山注意：在离散时间下，随机过程与时间序列是等同的下面的讨论主要针对离散时间，因此，时间序列过程和随机过程是互用的。时间序列定义：按时间顺序排列的随机变量的集合称为时间序列。已观测到的时间序列12{,,,}tYYY12{,,,}tyyy被看作是随机过程的一个实现(aparticularrealisation)（样本）。在实践中，一个时间序列通常只能有一个实现，如GDP。为了对随机过程中的未知参数进行推断，通常假定随机过程具有遍历性（ergodic,[ɜː'gɒdɪk]）。所谓遍历性是指随着时间T的无限变大（即实现的时间长度无限变大），随机过程的一个实现的样本矩趋近于总体矩（如样本均值趋于总体均值、样本方差趋于总体方差等）。协方差平稳（定义）随机过程是协方差平稳的，那么，该过程的均值、方差以及协方差是不随机时间变化的。}{ty若随机过程不满足上述条件，则称该随机过程是非平稳的。也就是说，非平稳过程的均值、方差以及协方差是随时间变化的。非平稳性行为可能是带有趋势的、周期性的、随机游走，也可能是三者的结合物。}{ty最简单的平稳过程：白噪声过程Asequenceisawhitc-noiseproccssifeachvalueinthesequencehasameant{ε}2计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山ofzero,aconstantvariance,andisseriallyuncorrelated.非平稳过程的例子：Financialinstitutionsandcorporationsaswellasindividualinvestorsandresearchersoftenusefinancialtimeseriesdata(suchasassetprices,exchangerates,GDP,3计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山inflationandothermacroeconomicindicators)ineconomicforecasts,stockmarketanalysisorstudiesofthedataitself.Datapointsareoftennon-stationaryorhavemeans,variancesandcovariancesthatchangeovertime.Non-stationarybehaviorscanbetrends,cycles,randomwalksorcombinationsofthethree.数据经常是非平稳的，或均值、方差或协方差随时间而改变，非平稳通常表现为带有趋势、同期、随机游走或三者的结合讨论数据平稳性的必要性Non-stationarydata,asarule,areunpredictableandcannotbemodeledorforecasted.Theresultsobtainedbyusingnon-stationarytimeseriesmaybespuriousinthattheymayindicatearelationshipbetweentwovariableswhereonedoesnotexist.Inordertoreceiveconsistent,reliableresults,thenon-stationarydataneedstobetransformedintostationarydata.Incontrasttothenon-stationaryprocessthathasavariablevarianceandameanthatdoesnotremainnear,orreturnstoalong-runmeanovertime,thestationaryprocessrevertsaroundaconstantlong-termmeanandhasaconstantvarianceindependentoftime.如何使用非平稳序列建模是存在争议的。GrangerandNewbold(1974)认为，使用非平稳序列建模有可能会产生伪回归的问题，因此，在使用非平稳序列建模时，通常分两种情况来讨论：当变量间存在协整关系时，通过建立协整关系方程，可以研究变量间的长期均衡关系；此时，也可以使用误差修正模型研究变量间的短期波动关系；若变量间不存在协整关系时，就只能通过差分变换将非平稳变量转换为平稳变量再建模。Sims(1980)并不赞成使用差分变换的方法将非平稳序列变换为平稳序列再进行建模。其原因是，差分变换虽然可以将非平稳序列变成平稳序列，但序列的水平值经过差分变换却被消除了，序列的长期趋势经过差分变换不复存在，这也是Sims(1980)反对使用差分变换的直接原因。从实践的角度来看，GrangerandNewbold(1974)的观点是主流观点，被广泛接受；4计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山如若按Sims(1980)的观点建模，伪回归的风险无法消除，单位根检验成了建模的多余步骤，或者说单位根检验对于建模来说都变成多余的了，这也是越来越多的人无法接受其观点的原因。非平稳过程的典型例子Examplesofnon-stationaryprocessesarerandomwalkwithorwithoutadrift(aslowsteadychange)anddeterministictrends(trendsthatareconstant,positiveornegative,independentoftimeforthewholelifeoftheseries).①纯随机游走过程（purerandomwalk）所谓随机游走是指变量tttyy1，其中，t为白噪声过程，；),0(~2iidt随机游走也称为一阶单整过程（processintegratedofoneorder），单位根过程（processwithaunitroot）或带有随机趋势过程（processwithastochastictrend）。随机游走过程是非均值回归过程，它可以以正的或反的方向偏离均值。随机游走的另一个特征是方差随时间变化，当时间趋于无穷大时，方差也趋于无穷大。因此，随机游走并不能被预测（arandomwalkcannotbepredicted）。②带漂移项的随机游走过程(randomwalkwithadrift)5计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山带漂移项（即常数项）的随机游走过程可以表示为tttyy1，其中，为常数项，而t为白噪声过程，。带漂移项的随机游走过程也),0(~2iidt不能回归其长期均值，其方差也是时间依赖的。③确定性趋势过程（DeterministicTrendProcess）确定性趋势过程可以表示为ttty，确定性趋势过程经常与带有漂移项的随机游走过程经常被混淆，两者均包含漂移项（常数项）和白噪声，但随机游走在t时刻之值是对上期值的回归，而确定性趋势则是对时间趋势ty1tyt的回归。带有确定性趋势的非平稳过程，其均值是以固定趋势增长的，固定趋势指的是常数，不随时间而变化（Anon-stationaryprocesswithadeterministictrendhasameanthatgrowsaroundafixedtrend,whichisconstantandindependentoftime）④带有漂移项和确定性趋势的随机游走（RandomWalkwithDriftandDeterministicTrend）带有漂移项和确定性趋势的随机游走可以表示为ttttyy1，这也是一个非平稳过程，它由带漂移项的随机游走和确定性趋势构成。在t时刻之值ty由上期值、漂移项、趋势以及随机分量构成。1ty趋势平稳和差分平稳（TrendandDifferenceStationary）差分平稳不包含漂移项的随机游走，以及包含漂移项的随机游走模型都是非平稳的时间序列，两者均可以通过差分变换转换为平稳时间过程：tt1yyε-=+ttttt1yαyε-=++tt1yyε--=ttt1yyαε--=+均为平稳过程差分变换的缺点就是损失了一些观测值，以及损失了水平值所包含的信息。6计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山趋势平稳带有确定性趋势的非平稳过程ttyαβtε=++经过去除时间趋势β后：tttyβtαε-=+变成了平稳过程，如图４所示。当使用去势方法将非平稳过程变换成平稳过程时，观测值是没有损失的。对于带漂移项和确定性趋势的随机游走，既包含确定性趋势，同时又包含随机趋势，要消除随机趋势，就必须使用差分变换。tt1yαyβtε-=+++t结论：如果非平稳过程是带或不带漂移项的随机游走过程，则可以通过差分方法将其转换成平稳过程。如果时间序列数据包含确定性趋势，通过去势方法将时间序列转换为平稳序7计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山列。有时，非平稳序列有可能同时包含随机趋势和确定性趋势，为避免得到错误的结果，应同时使用差分方法和去势方法。因为差分可以去除方差中的趋势，去势方法则可以去除确定性趋势。Sometimesthenon-stationaryseriesmaycombineastochasticanddeterministictrendatthesametimeandtoavoidobtainingmisleadingresultsbothdifferencinganddetrendingshouldbeapplied,asdifferencingwillremovethetrendinthevarianceanddetrendingwillremovethedeterministictrend.伪回归问题GrangerandNewbold(1974)给出伪回归的验证需要注意的是，序列{}yt和{}zt是相互独立的，因此，序列{}ty和{也是相互独立的，作这样的设计为的是使回归方程(4.5)没有经济意义，即回归方程(4.5)为伪回归。}tz8计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山如何解释GrangerandNewbold(1974)的发现单位根过程及单位根检验平稳与非平稳时间序列对冲击的反应：Thereareimportantdifferencesbetweenstationaryandnonstationarytimeseries.9计量经济学－时间序列讲义统计系郭万山Shockstoastationarytimeseriesarenecessarilytemporary;overtime.theeffectsoftheshockswilldissipateandtheserieswillreverttoitslong