圆锥曲线练习试题与详细答案

.专业.专注..word可编辑.圆锥曲线归纳总结——forYuri第22sincos部分：知识储备1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan,[0,)k②点到直线的距离0022AxByCdAB③夹角公式：2121tan1kkkk（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：2121ABkxx221212(1)[()4]kxxxx或12211AByyk（4）两条直线的位置关系①1212llkk=-1②212121//bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos,sinxayb(2)双曲线的方程的形式有两种.专业.专注..word可编辑.标准方程：221(0)xymnmn距离式方程：2222|()()|2xcyxcya(3)三种圆锥曲线的通径椭圆：22ba；双曲线：22ba；抛物线：2p(4)圆锥曲线的定义黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！(5)焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，122tan2FPFbSP在双曲线上时，122cot2FPFbS（其中2221212121212||||4,cos,||||cos||||PFPFcFPFPFPFPFPFPFPF）(6)记住焦半径公式：①椭圆焦点在时为0aex，焦点在y轴上时为0aey②双曲线焦点在x轴上时为0||exa③抛物线焦点在x轴上时为0||2px，焦点在y轴上时0||2py3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第0sinxdx部分：三道核心例题例1．椭圆长轴端点为,AB,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1AFFB，1OF。（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线交椭圆于,PQ两点，问：是否存在直线l.专业.专注..word可编辑.l，使点F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？）的处理。由待定系数法建立方程求解。解（1）建立坐标系，设椭圆方程为,由1OF得又∵即，∴易得1b，故椭圆方程为（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，设，∵，故，于是设直线为，由得，∵又得即由韦达定理得解得或（舍）经检验符合条件。例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点(2,1)M，平行于OM的直线l在y轴上的截距为(0)mm，l交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；PQM22221(0)xyabab1c1FBAF22()()1acacac22a2212xylQP,FPQM1122(,),(,)PxyQxy(0,1),(1,0)MF1PQklyxm2222yxmxy2234220xmxm12210(1)(1)MPFQxxyy(1,2)iiyxmi1221(1)()(1)0xxxmxm212122()(1)0xxxxmmm222242(1)033mmmmm43m1m43m.专业.专注..word可编辑.（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。分析：小黄同学，直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成021kk。解：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax则2811422222bababa解得∴椭圆方程为12822yx（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又12OMKmxyl21的方程为：由0422128212222mmxxyxmxy∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，0,22,0)42(4)2(22mmmm且解得（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设42,2),,(),,(221212211mxxmxxyxByxA且则21,21222111xykxyk由可得042222mmxx42,222121mxxmxx而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk.专业.专注..word可编辑.)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx00)2)(2(444242212122kkxxmmmm故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。例3．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为090，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？），利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为090可得出AB⊥AC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程。解：（1）设B(1x,1y)，C(2x,2y)，BC中点为(00,yx)，焦点为F(2,0)，则有11620,1162022222121yxyx两式作差有016))((20))((21212121yyyyxxxx，整理得04500kyx（其中k为点弦BC的斜率）(1)又F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30x.专业.专注..word可编辑.由03421yy得20y，代入（1）得56k，从而得到直线BC的方程为02856yx（2）由AB⊥AC得016)(14212121yyyyxx（2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk又由韦达定理有2215410kkbxx，222154805kbxx与直线方程结合，易得2222122154804,548kkbyykkyy代入（2）式得0541632922kbb，解得)(4舍b或94b直线过定点（0，)94，设D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy所以所求点D的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。77777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777第0lim1xjxxe部分：七种常见题型1、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为11(,)xy、22(,)xy，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况），消去参数。例如：设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有.专业.专注..word可编辑.1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba43归纳：（1）椭圆)0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为00(,)Mxy，则有02020kbyax。（2）双曲线)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为00(,)Mxy，则有02020kbyax。（3）抛物线22(0)ypxp与直线l相交于A、B，设弦AB中点为00(,)Mxy，则有022ykp，即0ykp。典型例题给定双曲线xy2221，过(2,1)A的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。2、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设(,)Pxy为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，.专业.专注..word可编辑.PFF12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|||PFPF1323的最值。3、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程2(1)(0)ypxp，直线xyt与x轴的交点在抛物线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数()ft的表达式。.专业.专注..word可编辑.4、圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。处理思路1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线22(0)ypxp)，过(,0)Ma且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点AB、，2ABp。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。.专业.专注..word可编辑.5、求曲线的方程问题（1）曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决典型例题已知直线已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点(1,0)A和点(0,8)B关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。（2）曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长|MN|与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，MNQO.专业.专注..word可编辑.并说明它是什么曲线。6、存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。7、两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量