九年级数学下册期末高效复习专题(含解析)(打包7套)浙教版

1专题1二次函数题型一二次函数的图象和性质例1对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；②它的顶点坐标为(1，4)；③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；④当x＞0时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为(C)A．1B．2C．3D．4【解析】①对称轴为x＝－b2a＝－22×（－1）＝1，∴①正确；②y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a＝－1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．变式跟进1．小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；(2)函数图象经过点(－2，4)．则符合条件的二次函数表达式可以是(D)A．y＝－(x－1)2－5B．y＝2(x－1)2－14C．y＝－(x＋1)2＋5D．y＝－(x－2)2＋202．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标．(1)y＝4x2＋24x＋35；(2)y＝－3x2＋6x＋2；(3)y＝x2－x＋3；(4)y＝2x2＋12x＋18.解：(1)∵y＝4x2＋24x＋35，∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，2解方程4x2＋24x＋35＝0，得x1＝－52，x2＝－72，故它与x轴交点坐标是－52，0，－72，0；(2)∵y＝－3x2＋6x＋2，∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5)，解方程－3x2＋6x＋2＝0，得x1＝1＋153，x2＝1－153，故它与x轴的交点坐标是1＋153，0，1－153，0；(3)∵y＝x2－x＋3，∴对称轴是直线x＝12，顶点坐标是12，114，解方程x2－x＋3＝0，无解，故它与x轴没有交点；(4)∵y＝2x2＋12x＋18，∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，当y＝0时，2x2＋12x＋18＝0，∴x1＝x2＝－3，∴它与x轴的交点坐标是(－3，0)．题型二二次函数的平移例2将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为(C)A．y＝－2(x＋1)2B．y＝－2(x＋1)2＋2C．y＝－2(x－1)2＋2D．y＝－2(x－1)2＋1【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．变式跟进3．将抛物线y＝2x2＋4x－5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是(C)A．y＝2(x＋1)2－7B．y＝2(x＋1)2－6C．y＝2(x＋3)2－6D．y＝2(x－1)2－6题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例3[2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值3范围是__m＜1__．【解析】∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m＞0，∴m＜1.【点悟】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标x1，x2，就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b2－4ac与0的大小即可．变式跟进4．已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是(D)A．x1＝1，x2＝2B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝2D．x1＝－1，x2＝3【解析】二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的对称轴是x＝1，(－1，0)关于x＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝3.5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是__－4＜x＜－3__．图1第5题答图【解析】如答图所示，∵点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x＝－32，∵二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，∴C点坐标为(－3，0)，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是－4＜x＜－3.题型四二次函数的图象与系数之间的关系例4如图2，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；4③4ac－b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是(D)图2A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴当x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝(－1)2a＋b×(－1)＋c＝0，∴a－b＋c＝0，即a＝b－c，c＝b－a，∵对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，即b＝－2a，∴c＝b－a＝(－2a)－a＝－3a，∴4ac－b2＝4a(－3a)－(－2a)2＝－16a2＜0.∵8a＞0，∴4ac－b2＜8a，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c＜－1，∴－2＜－3a＜－1，∴23＞a＞13，故④正确；⑤∵a＞0，∴b－c＞0，即b＞c，故⑤正确．【点悟】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．变式跟进6．[2016·孝感]如图3是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：5①a－b＋c0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是(C)图3A．1B．2C．3D．4【解析】∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，即b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2a＝a，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，∴4ac－b24a＝n，∴b2＝4ac－4an＝4a(c－n)，∴③正确；∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，∴抛物线与直线y＝n－1有2个公共点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，∴④正确．题型五二次函数的实际应用例5[2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x≤100，由50x－1100＞0，解得x＞22，∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y元，当0≤x≤100时，y1＝50x－1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900.6当x＞100时，y2＝50－x－1005x－1100＝－15x2＋70x－1100＝－15(x－175)2＋5025.当x＝175时，y2的最大值是5025，∵5025＞3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5025元．【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y＝a(x－h)2＋k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．变式跟进7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10m时，求t的值；(3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围．解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝15(m)，∴此时足球离地面的高度为15m；(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋2或t＝2－2，∴经过2＋2或2－2s时，足球距离地面的高度为10m；(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝202－20m＞0，解得m＜20，∴m的取值范围是0≤m＜20.题型六二次函数的综合题例6[2017·浙江月考]如图4，抛物线C1：y＝－3x2＋23x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.当k＞1时，求k7的值．图4例6答图解：(1)∵y＝－3x2＋23x＝－3(x－1)2＋3，∴抛物线C1经过原点O，点A(1，3)和点B(2，0)三点，∵将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，∴变换后的抛物线经过原点O，(2，23)和(4，0)三点．设变换后抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，将(2，23)和(4，0)代入，得4a＋2b＝23，16a＋4b＝0，解得a＝－32，b＝23，∴变换后抛物线的表达式为y＝－32x2＋23x；(2)∵抛物线C1经过原点O，点A(1，3)和点B(2，0)三点，将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，则抛物线C2过原点O，(k，3k)，(2k，0)三点，∴抛物线C2的表达式为y＝－3kx2＋23x；(3)∵y＝－3kx2＋23x＝－3k(x－k)2＋3k，∴O，A，C三点共线，且顶点C为(k，3k)．如答图，∵S△PAC＝S△ABC，k＞1，∴BP∥AC，过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E.由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1，∵∠PBD＝60°，∴BD＝k－12，PD＝3