等差数列知识点及类型题详----解(含精细化答案)

-592-6.5数列——等差数列【考纲解读】理解等差数列的概念。掌握等差数列的通项公式及前项和公式。能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前项和与二次函数的关系。【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列的首项是，公差是，则有（是常数）或，叠加得到等差数列的通项为：该公式整理后是关于的一次函数。例1：已知是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。知识点3、等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或例2：已知是等差数列。（1）有，那么是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？（3）是否成立？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n项和将带入可得该公式整理后是关于的二次函数。例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和。（1）（2）。知识点5、等差数列的判定方法定义法：若（d是常数）或，则数列是等差数列。等差中项：若或，则数列是等差数列。通项公式法：若通项公式为一次函数，则数列是等差数列，且公差，首项。前n项和法：若前项和，则数列是等差数列，且公差，首项。例4：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式。知识点6、等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有——该公式为等差数列的递推公式。对于等差数列，若，则也就是：例5：已知是等差数列。有则。2若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：3等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．若项数为，则，且，（其中，）。例6：设是等差数列的前项和，若，则。【题型划归】题型一、利用递推公式或求值。例1、设数列的首项，则。万能解题模板：【现炒现卖】在数中，，，则的值为（　　）A．49B．50C．51D．52题型二、利用等差中项求值。例2、已知为等差数列，则等于（）A.4B.5C.6D.7万能解题模板：【现炒现卖】等差数列的前三项依次为，，，则等于（）A.-1B.1C.-2D.2题型三、利用等差数列性质，有求值。例3、已知等差数列中，=。万能解题模板：【现炒现卖】若等差数列中，则=。题型四、已知其中几项的值，求公差、通项公式、前项和、及的最大（小）值等。例4、等差数列的前项和为，若。万能解题模板：【现炒现卖】等差数列中，，，则=。题型五、已知前项和的值及后项和的值，求项数或者。例5、在等差数列中，，，则。万能解题模板：【现炒现卖】等差数列中，已知，，则其前项和=　　　。题型六、已知，利用求通项公式。例6、已知数列的前项和，求数列的通项公式。万能解题模板：【现炒现卖】已知数列中，前项和。求证：数列是等差数列。题型七、已知，，的关系，利用，，成等差数列求其中几个量。例7、设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝　　　　。万能解题模板：【现炒现卖】设等差数列的前项和为，若，，则　　　　。题型八、利用等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，②若项数为，则，且，（其中，）．例8、设是等差数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．万能解题模板：【现炒现卖】若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（）A.5B.7C.9D.11课后强化巩固【基础巩固】1、等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（　）A.92B.47C.46D.452、在等差数列中，，，则。3、已知数列的通项,则其前项和为。4、记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差等于（）A.7B.6C.3D.25、等差数列中，已知，，，则为（）A.48B.49C.50D.516、等差数列-2,1,4，…的前项和为（）A.B.C.D.7、已知等差数列满足，则（）A.B.C.D.[8、数列的前项和，则＝___________。9、在等差数列中,,求的最大值。10、三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数。【能力加强】1、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.＞B.＜3C.≤＜3D.＜≤32、在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直上，则=_____________。3、设为等差数列的前项和，＝14，，则　　　　。4、等差数列中，,，其前项和=100,则=（）A.9B.10C.11D.125、设Sn是等差数列的前项和，若（）A.1B.－1C.2D.6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项7、等差数列的前项和为，若（　　）A.12B.18C.24D.428、一个等差数列中=33，=66，则=__________。9、等差数列的前项和记为.已知（1）求通项；（2）若=242，求.10、已知数列是一个等差数列，且，。（1）求的通项；（2）求前项和的最大值。【尖子训练】1、如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（）A.B.C.=D.++2、若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（　　）A.B.C.D.3、已知等差数列中，，，则。4、等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。5、已知是等差数列，，；也是等差数列，，。（1）求数列的通项公式及前项和的公式；（2）数列与是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。6、设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为。（1）若=0,=98,求数列的通项公式；（2）若≥6，＞0，≤77，求所有可能的数列的通项公式.-5293.5152-11-6.5解析【知识储备】例1、答案：例2、答案：三个问均成立，结论是：事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。例3、答案：（1）（2）。例4、答案：，，。例5、答案：。例6、答案：。【题型划归】例1、❶关键词：。❷通过关键词提取到的关键信息：。❸逻辑思维分析：由，，所以此数列为等差数列，可用求。❹答题过程：，可求。万能解题模板：第1步：利用递推公式求出公差；第2步：看题目中是否有首项，若没有则利用递推公式求出，若有则用通项公式求出。【现炒现卖】答案：C；解析：，。例2、❶关键词：等差数列，。❷通过关键词提取到的关键信息：角标。❸逻辑思维分析：通过角标关系可知是的等差中项，由可得。❹答题过程：。万能解题模板：第1步：分析给出的三项角标之间是否符合等差中项关系；第2步：利用等差中项公式求解。【现炒现卖】答案：B；解析：前三项符合等差中项关系，。例3、❶关键词：等差数列，。❷通过关键词提取到的关键信息：❸逻辑思维分析：知由角标关系及等差数列可得，则❹答题过程：万能解题模板：第1步：分析给出的四项角标之间是否符合关系；第2步：利用等数数列的性质，则求解。【现炒现卖】答案：12；解析：分析角标，前一个等式有，后一个等式有，相加得；前一个等式还有，后一个等式还有，相加得；与抵消了，只剩下，因此，可以把两个等式加起来，即得例4、❶关键词：等差数列，❷通过关键词提取到的关键信息：❸逻辑思维分析：，由等差数列的性质可得，则❹答题过程：，，万能解题模板：第1步：通过已知两项找其关系，如果需要可利用递推或等差中项公式求出；第2步：若题目求通项公式，可用递推求解，若求前项和，可利用等差数列性质，再用求解。【现炒现卖】答案：27；解析：，，，。例5、❶关键词：等差数列，，，。❷通过关键词提取到的关键信息：前三项+后三项=93，。❸逻辑思维分析：由等差数列性质知，，可算出，由即可算出。❹答题过程：，，，。万能解题模板：第1步：由等差数列性质；第2步：利用求解。【现炒现卖】答案：；解析：。例6、❶关键词：。❷通过关键词提取到的关键信息：。❸逻辑思维分析：，，由可求出。❹答题过程：，，。万能解题模板：第1步：通过与的关系，递推出与的关系；第2步：利用求解。【现炒现卖】解析：，，，整理得①，则②，②-①得，整理得，即是等差数列。例7、❶关键词：等差数列，＝14，，？❷通过关键词提取到的关键信息：角标4、8、12成倍数关系。❸逻辑思维分析：由等差数列性质，，成等差数列，知，，即可求出。❹答题过程：，，，。万能解题模板：第1步：寻找角标的成倍关系；第2步：利用等差数列性质，，成等差数列，求解相关量。【现炒现卖】答案：解析：。例8、❶关键词：等差数列，，？❷通过关键词提取到的关键信息：角标7是奇数，且，。❸逻辑思维分析：由角标关系，利用等差数列性质项数为（奇数），则可得。❹答题过程：。万能解题模板：第1步：寻找角标的关系；第2步：利用利用等差数列性质①若项数为，则，且，②若项数为，则，且，（其中，），求。【现炒现卖】答案：B；解析：有奇数项，，解得，所以。【基础巩固】1、2、答案：C.3、答案：-49.4、答案：.5、答案：C.6、答案：C.7、答案：B.8、答案：C.9、10、答案：；解析：是的形式，11、答案：630；解析：①，配方得②，因为，所以只能取11或12；将11、12带入①式求得。12、答案：11、6、1；解析：已知的数字只有两个，因此只能列两个方程，而求的三个未知数，多了一个未知数，所以我们可以根据等差数列的性质，巧妙的设未知数，即设三个数分别为，也就只有两个未知数，，解得。【能力加强】1、2、答案：D.3、答案：.4、答案：54.5、答案：B.6、答案：A.7、答案：A.8、答案：C.9、答案：99.10、11、答案：，；解析：，，，，解得。12、答案：，；解析：，，，，当时，有最大值4。【尖子训练】1、答案：B；解析：①，②，②①，。2、答案：D；解析：。3、答案：0；解析：，，解得，。4、答案：；解析：，同理，，，，，所以是首项为-2公差为的等差数列，。5、答案：，有；解析：（1），，，，，；（2）由（1）的，设，，有，，所以必须是3的倍数，即是3的倍数，令，解得可取1、2、3、4，即在100以内有四个相同的项：18、42、66、90。6、答案：；解析：（1），，，；（2）由已知条件有：，由①③联立解得，由②③联立解得，将带入②③解得，则所有可能的通项公式有。①②③①②③