随机过程试题及解答

2016随机过程（A）解答1、（15分）设随机过程VtUtX)(，),0(t，U，V是相互独立服从正态分布(2,9)N的随机变量。1)求)(tX的一维概率密度函数；2)求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。3)求)(tX的二维概率密度函数；解：由于U，V是相互独立服从正态分布(2,9)N的随机变量，所以VtUtX)(也服从正态分布，且：()()22mtEXtEUtVtEUEVt22()()99DtDXtDUtVtDUDVt故：(1))(tX的一维概率密度函数为：222218(1)21(),321xtttfxext(2))(tX的均值函数为：()22mtt；相关函数为：(,)()()()()RstEXsXtEUsVUtV22()13()413stEUstEUVEVstst协方差函数为：(,)(,)()()99BstRstmsmtst（3）相关系数：2222(,)991(,)()()999911BststststDsDtstst)(tX的二维概率密度函数为：22112222222(22)(22)(22)(22)1292(1)9(1)4(1)11,122221(,)18111xsxsxtxtstststfxxest2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为：419,04()80,47tttt在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)XX服从泊松分布，其均值：646224(6)(2)()(419)80282mmtdttdtdt在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：0282282(282)(6)(2)00!PXXee在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：(6)(2)282mm3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数)(tN是一个强度8的泊松过程，第i户的人口数）（,2,1iYi是相互独立同分布的随机变量，在t周内移民到该地区人口数：)t(N1iiY)t(X是一个复合泊松过程，iY的分布为：12340.20.30.30.2iYP22.57.3EYEY由公式：2tEY)t(XD,tEY)t(XE可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：(5)882.5160,(5)887.3467.2EXDX4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.20.30.50.10.50.40.60.20.2P（1）求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。（2）求两步转移概率矩阵)2(P及当零时刻初始分布为：000{1}0.2,{2}0.2,{3}0.6,PXPXPX时，经两步转移后的绝对分布。解：（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布123{,,}T满足：1123212331231230.20.10.60.30.50.20.50.40.21解得：123323437,,103103103故平稳分布323437{,,}103103103T各状态的平均返回时间：123123110311031103,,323437（1）(2)0.20.30.50.20.30.50.370.310.320.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42PPP已知初始分布：(0)(0.20.20.6)TP，所以经两步转移后的绝对分布为：(2)0.370.310.32(2)(0)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.382)0.260.320.42TTPPP5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。解：设红灯为状态1，绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：0.10.90.40.6P此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布12{,}T满足：112212120.10.40.90.61解得：1249,1313故平稳分布49{,}1313T路口遇红灯的极限概率为1413红灯和绿灯状态的平均返回时间：1212113113,496、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{I，转移概率矩阵为：0.00.30.00.70.00.10.20.30.20.20.00.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.00.8P（1）试对状态进行分类，并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。解：马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{I可以分解为1{1,2,4}C和2{3,5}C的并。其中1C为非常返状态；2C为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分布。对于2{3,5}C，转移概率矩阵为：0.40.60.20.8，其平稳分布满足：335535350.40.20.60.81解得：3513,44故2{3,5}C的平稳分布13{0,0,,0,}44T各常返状态的平均返回时间：35351144,37、（10分）一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),[htt内，它都以概率)(5hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。解：质点随机游动t时刻的位置()Xt是一个马尔科夫过程，其状态空间：{1,2,3}I，Q矩阵元素为：00()5()limlim5,()ijijhhphhohqijhh,1,1()10iiiiiiqqq，（其中约定状态：0=3，4=1）即：105551055510Q柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：,,1,1,()5(()())10()ijijijijptptptpt由于：,1,,1()()()1ijijijptptpt得到：,,,,()5(1())10()15()5ijijijijptptptpt解此一阶线性微分方程得：15,1()3tijptCe，C为待定常数。又因：,0,(0)1,ijijpij故转移概率)(tpji为：15,1511,33()21,33tijteijpteij平稳分布为：1lim(),(1,2,3)3jijtptj8、（10分）设随机过程tttX,)(sin)(2，其中是服从区间],0[上的均匀分布的随机变量。试回答：)(tX是否为（宽）平稳过程？研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解：22011()sin()sin()2EXtEttd222201()(-)sin()sin()sin()sin()11cos(2)48EXtXtEttttd故所以，)(tX是（宽）平稳过程。211()sin()22..TTTXttdtTlim故)(tX的均值函数具有各态历经性。221()(-)sin()sin()211cos(2)48..TTTXtXtttdtTlim故)(tX的相关函数具有各态历经性。