第九讲鸡兔同笼问题

第九讲鸡兔同笼问题-103-第九讲鸡兔同笼问题知识导航:“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中，许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法----“假设法”来求解，因此很有必要学会它的解法和思路。在考虑问题的时候，应该试着发现一些题目中隐含的条件，比如说：鸡和兔各有一个头，但是，鸡有2只脚，兔有4只脚，这样的话，每增加一只鸡，脚的总数就会减少2只，通过这样的考虑，我们就可以使问题简单化。对于特定问题，可以利用假设的方法来计算，比如将所有的动物假设为兔，然后通过“每只兔脚数-每一只鸡的脚数”这个差额来计算鸡或兔的数量同样地，我们可以这样来处理得失问题（合格产品与不合格产品）、考试问题（做对得分与做错扣分）等等推广的鸡兔同笼问题。鸡兔同笼的变化也是很多的，无论如何，有一个式子始终是成立的：鸡数＋兔数＝总数或者:合格产品数＋不合格产品数＝产品总数做对的题目+做错的题目（有时还要+没有做的题目）＝题目总数这是我们能够处理这种问题的根本。第一关:必须会例1.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？常用方法有两种，方程和算术法方法一：解析：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，如果减去总头数，剩下就是兔子的只数了。解：244÷2＝122（只）122－88＝34（只）88-34=54（只）答：有兔子34只，有鸡54只。方法二：解：设有鸡x只，则兔有88-x只，可得方程：2x＋4×(88－x)＝2442x＋352－4x＝2442x＝108关爱成长每一天-104-x＝5488－54＝34（只）答：有兔子34只，鸡54只。小朋友，你还有更好的方法吗？快来试试吧！我试试：1、现在有鸡、兔同居一笼，鸡头和兔头一共有15个，鸡脚和兔脚一共有44只，问鸡和兔各有几只？2、笼子里有鸡和兔共30只，总共有70条腿，问：鸡和兔各有几只？3、100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每人栽1棵树，总共栽树120棵。老师和学生各栽树多少棵？例2.鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？解析：考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56÷2=28（只）鸡，这样一来，鸡、兔共有107+28=135（只），鸡脚、兔脚一样多，利用和倍问题：解：兔135÷（2+1）=45（只）鸡135－45－28=62（只）答：鸡有62只，兔有45只。第九讲鸡兔同笼问题-105-我试试：1、鸡兔同笼，鸡比兔多12只，共有脚114只，求鸡、兔各有几只？2、现在有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？3、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？例3.某小学举行“我做环保小卫士”知识竞猜。本次大赛一共有20题，答对一题得8分，答错一题倒扣5分，放弃得0分。小宁得了139分，他答错了几题？放弃了几题？解析:我们可以用假设方法解决，假设20道题全部做对，可以得20×8=160分，可是，实际只得139分，分数差，不仅是每道题的分值还包括倒扣的分数，共计8+5=13分。解:8×20=160（分）160-139=21（分）8+5=13（分）21÷13=1…8答：他答错了一题，放弃一题。我试试:1、小明参加数学竞赛，共10道题，每答对一道得10分，每答错一道倒扣5分，（不做按做错算），他最后得了55分。小明一共做对了几道题？做错了几道题？关爱成长每一天-106-2、某班同学参加数学竞赛，试题共20道。评分标准是：答对一题给8分，答错一题倒扣4分。小丽同学得了100分，问，她答对了几道题？3、某电视机厂每天生产电视500台，在质量评比中，每生产一台合格电视机记5分，每生产一台不合格电视机扣18分。如果四天得了9931分，那么这四天生产了多少台合格电视机？第二关：我能会例1.甲、乙两人进行数学比赛，规定答对一题，甲得5分，乙得6分，；答错一题，甲扣2分，乙扣3分。两人各算了10道题，共对了15道题，且甲比乙多得19分。问:甲、乙各做对几道题？解析：假设甲都答对了，也就是说甲答对了10道题，则乙答对了：15-10=5（道），这样的话，甲比乙多得：5×10-（6×5-3×5）=35（分），比实际还要多得：35-19=16（分），这就说明，甲答对的比实际多，乙答对的比实际少。所以，需要对甲、乙答对的题数进行调整：乙答对一道题而甲答错一道题，两个人的分数差就会减少：6+3+5+2=16（分）解：乙答对的题数5+16÷16=6（道）甲答对的题数15－6=9（道）答：甲做对9道题，乙做对6道题。我能行：1、某运输队为商店运输暖瓶500箱，每箱6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5.5元，损坏一个暖瓶，要赔偿成本11.5元（这只暖瓶的运费当然得不到），结果运输队共得到1553.6元。问：共损坏了多少只暖瓶？第九讲鸡兔同笼问题-107-2、小明有2分硬币和1分硬币共50枚，他把这些硬币等值地换成16枚5分硬币。问：小明原有2分硬币多少枚？3、买5元1千克的茶叶和8元1千克的茶叶共10千克，用去71元。问：两种茶叶各买了多少千克？例2．.鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？解析：鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出它们的只数了。解：（110+10×4）÷（4+2）=25（只）……鸡25-10=15（只）……兔答：鸡有25只，兔有15只。我能行：1、鸡兔同笼，兔比鸡多20只，鸡兔共有脚560只，鸡兔各有几只？2、鸡兔同笼，鸡比兔多25只，鸡兔共有脚350只，鸡兔各有几只？关爱成长每一天-108-3、一只货船载重26吨，容积1000米3，现装运甲、乙两种货物，已知甲种货物每吨体积是8米3，乙种货物每吨体积2米3，要使这只船的载重量与容积得到充分利用，甲、乙两种货物应分别装多少吨？第三关：我想会例1．寺庙里有100个馒头和100个和尚，大和尚每人吃3个馒头，小和尚3人吃一个馒头，问寺庙里有几个大和尚？有几个小和尚？解析：方法一：我们可以用假设的方法解题，假设全是大和尚，那么共需要300个馒头，可是寺庙里只有100个馒头，所差的馒头数，就是大和尚与小和尚所吃的馒头数的差。大和尚一人吃3个，小和尚三人吃1个，就是每人吃31个，相差3-31=38个。再用前面所学的方法就能解决。解：假设都是大和尚，需要100×3=300（个）300-100=200(个)小和尚：200÷（3-31）=75（个）大和尚：100-75=25（个）答：有大和尚25个，有小和尚75个。解析：方法二：我们可以分组，每四个馒头一组，看看100个馒头里有几组，有几组就有几个大和尚。解：100÷（3+1）=25（个）100-25=75（个）答:大和尚有25个。小和尚有75个。你还有更好的方法吗？让我也学一学！我要学：1、100个大人吃100张饼，大人每人吃4张，小孩每4人吃1张，问大人、小孩各多少人？第九讲鸡兔同笼问题-109-2、张老师带五年级120名同学栽树，张老师一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生3人栽1棵，总共栽树125棵，问几名男生，几名女生？3、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿,2对翅膀;蝉6条腿,1对翅膀)，三种动物各几只?例2．鸡兔共有脚260只，鸡兔互换共有脚280只，鸡兔各有几只？解析：“鸡兔互换”是指把鸡看成兔，把兔看成鸡，所以无论是鸡还是兔，互换前后一共算了6只脚。这样就可以求出鸡兔只数的总和，再算出互换后脚数差，求出只数差，最后用和差公式求出鸡兔各有几只。解：和：（260+280）÷（4+2）差：（280—260）÷（4-2）=540÷6=20÷2=90（只）=10（只）鸡：（90+10）÷2=50（只）兔：90-50=40（只）答：鸡有50只，兔有40只。我要学：1、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚88只。问：鸡、兔各有几只？2、鸡兔共有脚160只，若将鸡换成兔，兔换成鸡,则共有脚200只，则鸡有多少只？兔有多少只？3、鸡兔共有脚130只，鸡兔互换共有脚110只，鸡兔各有几只？关爱成长每一天-110-例3.今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解析：4年后，两人年龄和都要加8。此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”。86是“总脚数”。根据公式，代入计算即可解:（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）1998年兄年龄是14-4=10（岁）父年龄是（25-14）×4-4=40（岁）因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）÷（3-1）=15（岁）这是2003年。答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍。我要学：1、小伟和小丽计划用50天假期练习书法，将3755个一级常用汉字练习一遍，小伟每天练习73个汉字，小丽每天练习80个汉字，每天只有一人练习，每人每天练习的字各不相同，这样，他们正好在假期结束时完成计划，他们各练习了多少天？2、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？3、远输队包运1998套玻璃茶具，运输合同规定：每套运费以1.6元计算，每损坏一套，不仅不得运费，还要从总运费中扣除赔偿费18元，结果运输队实际的运费3059.6元，在运输过程中被损坏的茶具套数是多少？第九讲鸡兔同笼问题-111-大显身手：1、一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？2、鸡兔共有脚160只，鸡兔互换共有脚140只，鸡兔各有几只？3、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？4、某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话不但不给运费还要赔成本10元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。问、共损坏了多少只暖瓶？5、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各有多少只？关爱成长每一天-112-6、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票各多少张？各付出多少元？7、小东妈妈从单位领回奖金400元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？8、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但是，如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？9、小乐和小溪一起跳绳，小溪先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小溪比小乐每分钟多跳12下，那么小溪比小乐共多跳了多少下？10、蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀。三种昆虫共有18只，腿一共有116条，翅膀一共20对，问：三种昆虫各几只？第九讲鸡兔同笼问题-113-真题欣赏：1、有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣、白色裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣、黑裤子的学生有多