第一章几何光学的近轴理论

第一章几何光学的近轴理论几何光学的基本定律费马定理成像球面成像薄透镜成像光学仪器1.1、几何光学的基本定律一、几何光学三个基本实验定律1.光的直线传播定律•在真空或均匀介质中，光沿直线传播。PQ•如果介质是非均匀的，则光的传播将会发生偏折，即不再沿着一条直线传播。•但是，总可以设法发现光传播的路径，这条路径是折线或曲线。•根据这一事实，也可以得出这样的结论:既然在媒质中，光总是沿直线、折线、或曲线传播，那么就可以用一条几何上的线来描述和研究光的传播，这就是“光线”。2.光的独立传播定律•自不同方向或不同物体发出的光线相交，对每一光线的独立传播不发生影响。3.光的反射律和折射定律物观察者（接收器）平面镜挡板光的反射定律ii反射光在入射面内界面ii入射面n光的反射定律•1）反射光在入射面内•2）反射角等于入射角光的折射定律介质2介质1分界面物像1i2i21sin/sinii只与两种介质有关，折射率1i1i2i2211sinsininin折射光在入射面内Snell定律界面入射面n光的色散•一束平行的白光（复色光）从一种媒质（例如真空或空气）射入另一种媒质时，只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间散开来。•说明不同颜色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。二、光路可逆原理上述实验定律都反映了光路的可逆性•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q′点成像，则Q′点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。QQ′三、全反射1n2n1212sinsinniin12nn112sin1nin2sin1i211sinnin有可能但所以，当时，折射光实际上不存在，只有反射光这种情况就是全反射，也称全内反射全反射临界角•光线从光密介质射向光疏介质，折射角比入射角大•入射角满足就会出现全反射•出现全反射的最小入射角•称作全反射临界角211arcsinnin21arcsinCninCi1n2n全反射棱镜倒转棱镜5.675.67屋脊形五棱镜波罗组合棱镜光纤定义：光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的乘积。nlQPL)(iiilnlnlnQPL2211)(PQdsrnQPL)()(变折射率介质：同一均匀介质：光具组：1.2Fermat原理一、光程费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。（1679年）二、费马原理平稳值的三种基本的含义：极小值常见情况，常数成像系统的物像关系极大值个别现象平稳值dsrnQPLlPQ)()()(*费马原理的数学表达式)()()()(lLdsrnQPLlPQ路径积分：是路径（l）的函数，平稳值要求变分为零，0)(0)()(lLdsrnlPQ，或原理与定律•可以由Fermat原理导出几何光学的实验定律•所以可以说，Fermat原理是更基本的•一般来说，任何一门学科，都有着无法证明的（指从理论上无法证明）最基本的假设，这就是原理，是这一学科所建立的基础。二、由费马原理推导三个实验定律1、光在均匀介质中直线传播要点：反射光线在入射面，反射角等于入射角，光程最短。QQ’MM’PM”2、反射定律一、同心光束从同一点发出（更多的情形是由于反射或散射出）的或汇聚到同一点的光线束，称为同心光束。从光线的性质看，物上的每一个物点都发出同心光束，而像点都由同心光束会聚得到。1.3成像物和像都是由一系列的点构成的，物点和像点一一对应（几何光学上称作物像共轭）成像的最基本条件是要满足同心光束的不变性。从整个物和像的对应关系看，还必须要满足物像间的相似性。空间上，各个点之间的相互位置要一一对应，同时每一对物像点的颜色要一一对应。要求成像的光学系统不产生畸变，没有像差、色差、像散、慧差，……等等。在平面反射的情形下，物与像点点对应，所以平面镜可以严格成像。平面镜是唯一可以严格成像的光学元件。MAABB二、光具组若干反射面或折射面组成的光学系统。光轴：光具组的对称轴理想光具组•精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。•使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具组•理想光具组是成像的必要条件三、实物与虚物，实像与虚像发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。光具组物方像方实物虚物实物光具组光具组经过光具组后的同心光束，汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。像方物方实像虚像光具组光具组实物成实像实物成虚像虚物成实像虚物成虚像光具组光具组光具组光具组“虚光线”与“虚像”•光线并没有进入平面的下方•所以，像点并不是真实光线汇聚而成的•而是视觉上将反射光线反向延长后汇聚形成的•因而，反射光线的反向延长线就是“虚光线”，这样形成的像就是“虚像”。虚光程•按照费马原理，物像之间应该是等光程的1122nABnBAnABnBA上式对任意方向光线成立的条件为等式的值为011nABnBA22nABnBA则平面下方的折射率为nn虚光线的光程称作虚光程四、物方和像方•物点所在的空间为物方空间•像点所在的空间为像方空间物像物方空间像方空间物与像的共轭性物方与像方不仅一一对应，而且根据光路可逆原理，如果将发光点从物点移到像点，并使光线从反方向入射光具组，他的像将成在原来的物点上。这样一一对应的物点和像点，称为共轭点五、物像之间的等光程性物点Q与像点Q′之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q′的光线，都是等光程的。)'()'()'(2211QNQMLQNQMLQNQMLii等光程与成像：严格等光程严格成像近似等光程近似成像非等光程不成像1.4近轴光在单球面上的成像nn1COrssrdiiQMQuupp•从Q点发出的光线QM折射后变为MQ′一、轴上物点成像ininsinsinirspsinsinirspsinsininrsnpsinsin)(sinsin()pninsr应用正弦定理中，和在1MCQΔΔQMC1)(rsnp()pnsrcos)(2)(222rsrrrspcos)(2)(222rsrrrsp2sin)(4222rsrsp2sin)(4222rsrspcos)(222222rsrrrrsspcos)(2)(22rsrrsrs22()(1cos)srsr2sin)(422rsrs在△QMC1和△Q′MC1中分别应用余弦公式2sin)(4222rsrsp2sin)(4222rsrsp)(rsnp()pnsr2222)(2sin)(4rsnrsrs2222)(2sin)(4rsnrsrs222)(rsns222)(rsns24sin22[()rnsr2]()rnsrΦ不同，s′不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性•欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足近轴（傍轴）条件，即002sin2srsnsrsn)()(222)(rsns222)(rsns24sin22[()rnsr2]()rnsrrnnsnsnrnn折射球面的光焦度•或者(2)r22nnnn没有意义nn只有这就是平面镜平行光入射像方焦距，像点Q′所在位置为像方焦点sfnnrnsrnnsnsnsfnnnrs折射光为平行光物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点1ffssGauss公式OQfnnOQfnn二、轴外物点成像相当于光轴绕球心旋转满足近轴条件时，圆弧变为直线。tansintansinhPQsisinshPQsisins像的横向放大率1F焦点与焦平面平行于光轴的入射光线经过球面折射后，汇聚于像方焦点。FFC由于单球面有无数个光轴，所以，凡是相互平行的入射光线，经折射后，都汇聚于与入射光线平行的光轴的像方焦点上。所有这些像方的焦点构成一个球面。•在傍轴条件下，上述像方焦点可以看作是处于一个平面上，这就是折射球面的像方焦平面•即：相互平行的入射光线都汇聚于像方焦平面上的同一点。•同样，可以得到并定义物方焦平面，从该平面上一点发出的所有光线，经折射后，在像方为相互平行的光线FFCFF物方焦平面像方焦平面折射球面的光学参数nnCOffFFr物方焦距像方焦距物方焦点像方焦点物方焦平面像方焦平面折射球面的光学性质nnCOFFFF根据这些光学参数，可以得到任意一条光线的共轭光线光焦度与焦距的讨论•显然，上述三个物理量既可以是正值，也可以是负值。•若r0，n′n，f，f′0；r0，n′n，f，f′0。可以看出，平行光入射，折射光发散。反向延长后，会聚点在物方，即f′0表示像方焦点位于物方。rnnnrfnnnrfnnnnnn0r0r•由于物、像间的共轭关系，f0表示物方焦点位于像方。•焦距为负值，表示像方焦点实际上在物方，物方焦点实际上在像方。•由于焦距也是像距或物距，所以，如果物点位于像方（虚物），则其物距为负值；像点在物方（虚像），则其像距为负值。虚物，物距为负值虚像，像距为负值例题•一束汇聚光射向折射球面，如果将入射光线延长，则汇聚在P点处，求这束光经球面折射后实际的汇聚点。•解法1，用作图法。FFP•解法二，用计算法•将物距以P点到球面的距离的负值带入即可FFP1sfsf1fsfs•（1）物方和像方：以光线入射的方向作为物方，另一方为像方。•（2）球面曲率中心在像方，其曲率半径r0；球面曲率中心物方，r0。•（3）物点在物方，物距s0；物点像方，物距s0。•（4）像点在像方，像距s′0；像点在物方，像距s′0。三、几何光学的符号约定•（5）线段在主光轴之上，y0；线段在主光轴之下，y0。0y0y0y0y0r0rff0s0s0s0s•（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。0u0u•（8）对于反射球面，其物方和像方位于球面同一侧。•（7）图中所标均为绝对值，对于是负值的参数，应在其前面加上负号。yyuu0i0i由折射球面物像公式推导反射球面物像公式iiininsinsinnnrnrnnsnsn2rnsnsn2rss211rnnsnsn折射球面Gauss公式2rff0fffrrf凸面镜凹面镜0ff对于实物，总是在焦点内侧成正立缩小虚像FFFFCC可以成实像或放大的虚像nnssiiyytansintansinysisinsysisinsPQPQ四、符号约定下像的横向放大率公式五、Lagrange-Helmhotz恒等式tan()tanuuuuunyynu对光线的角放大率为Lagrange-Helmhotz恒等式)/()/(dshdshssynnyynsynsCOQQuudsdsdMN由于可得到h1.5薄透镜成像•1.5.1薄透镜由两个折射球面组成，过两球面圆心的直线为光轴，顶点间距d。|||,|,,21ssrrd0d就是薄透镜，通常可以可以认为，两球面顶点重合，称为光心，记为O。如果满足•1.5.2薄透镜成像公式•1．用逐次成像法推导Ln121QQQnn1r2rsssd2C1C1O2OO1rnnsndsnLL