多种功率谱估计的比较

多种功率谱估计的比较1．实验目的：a.了解功率谱估计在信号分析中的作用；b.掌握随机信号分析的基础理论，掌握参数模型描述形式下的随机信号的功率谱的计算方法；c.掌握在计算机上产生随机信号的方法；d.了解不同的功率谱估计方法的优缺点。2．实验准备：有三个信号源，分别代表三种随机信号（序列）。信号源1：123()2cos(2)2cos(2)2cos(2)()xnfnfnfnzn其中，1230.08,=0.38,0.40fffz(n)是一个一阶AR过程，满足方程：()(1)(1)()znaznen(1)0.823321ae(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差20.1信号源2和信号源3：都是4阶的AR过程，它们分别是一个宽带和一个窄带过程，满足方程：()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()xnaxnaxnaxnaxnene(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差2，参数如下：参数信号源a(1)a(2)a(3)a(4)2信号源2－1.3001.200－0.6000.2501.000信号源3－2.7503.799－2.6500.9281.0003．实验内容：a.描绘出这三个实验信号的真实功率谱波形。b.在计算机上分别产生这个三个信号，令所得到的数据长度256=N。注意：产生信号的时候注意避开起始瞬态点。例如，可以产生长度为512的信号序列，然后取后面256个点作为实验数据。c.分别用如下的谱估计方法，对三个信号序列进行谱估计。1、经典谱估计z周期图法z自相关法z平均周期图法（Bartlett法）zWelch法（可选每段64点，重叠32点，用Hamming窗）2、现代谱估计zYule-Walker方程（自相关法）z最小二乘法注：阶次p可在3－20之间，由自己给定。4.实验结果及分析1分析信号源11周期图法周期图法又称直接法，是直接建立在功率谱的定义式上的。21ˆ()()PERSXkN图1一次周期图法图250次周期图法平均（红色：平均，蓝色：单次）周期图法在理论上渐近无偏的非一致估计，数据量越大，周期图沿频率轴的起伏变化愈激烈所求得的功率谱振荡剧烈，信号方差较大，不利于对功率信号的分析。但是从上图上可以看出，对于确定信号成分较大信号源里，周期图法能够较好的表现出信号的频谱成分。本信号为确定信号和白噪声相加，且性噪比较大，因此信号有较好的平均性。2自相关法原理：由维纳-辛钦公式，经自相关函数间接获得||1xx021xx11ˆˆˆNmnNjkmNBTmNRmxnxnmNSkRme图3一次自相关法图450次自相关法平均（红色：平均，蓝色：单次）自相关法是由维纳-辛钦公式出发的，本质上是对周期图法的插值，因此而这本质上来说是一致的。由于采用差值的方法，会使谱线相对平滑一些。同样，对于本信号源（确定信号+白噪声），自相关法较好的跟随了谱线峰值，且也有较好的平均性。3平均周期图法（Bartlett法）原理：K个独立同分布的随机变量的均值之方差，等于单个变量方差的1/K。方法：长数据N分成K段，每段M=N/K，每段用周期图法求谱：2101MjwninIxneMK段平均后的谱估计为：11ˆˆKxxiiSIK图5一次BT法图650次BT法平均（红色：平均，蓝色：单次）平均周期图法是通过改进的经典谱估计法，是以牺牲分辨率和偏差来改善方差性能的。但是在本信号源（确定信号+白噪声）分析中，很好的分辨出了相邻的两根谱线值。4Welch法原理：1把N个数据分成K段，每段可以互相独立(如平均周期图法),也可以互相交叠,例如交叠一半,即K=N/L或K=(N-L/2)/(L/2)2.再把每段数据乘上窗函数w(n)(如加窗平滑法)后作DFT。10MjniiinXDFTxnwnxnwne21ˆxiiSXM11ˆˆKxxxiiSSUM图7一次welch法图850次welch法平均（红色：平均，蓝色：单次）Welch法结合了平均周期法和加窗平滑法的优点，保证了方差性能，但是由于每段数据点数较少，所以在跟随峰值的方面较差。对于本信号，使用welch法有较好的平均性。5Yule-Walker方程（自相关法）目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数。未知参数：212,,,,:1paaap个已知参数：,0,1,,1,0,1,,xxxnnNRmmp图9一次Y-W法图1050次Y-W法平均（红色：平均，蓝色：单次）Yule-Walker方程（自相关法）是现代谱估计方法。从图中可以看出，相对于welch法有较好的分辨率。对于本信号（确定信号+白噪声），使用该方法的平均性较差。6最小二乘法1122nnnpnpnxxxxene是零均值方差为2的平稳随机过程，把上式写成XAE则参数Φ的线性最小二乘估计：1ˆTTAAAX图11一次LS法图1250次LS法平均（红色：平均，蓝色：单次）最小二乘法是精估计，是在Y-W方法上改进，采用的数据量大，故有较好的分辨率。从图上可以看出，分辨率和方差性能都较好。2分析信号源21周期图法图1350次周期图法（红色：平均，蓝色：单次）周期图法的方差性能比较差，因此谱线的起伏比较大。2自相关法图1450次自相关法平均（红色：平均，蓝色：单次）自相关法在本质上和周期图法是相同的，方差性能比较差，因此谱线的起伏比较大。3平均周期图法图1550次周期法平均平均周期图法从理论上改善了方差性能，是以牺牲分辨率来提高方差性能的，该方法的估计与自相关法和周期图法相比较，曲线的方差特性明显变好，但是分辨率较低。4Welch法图1550次welch法平均Welch法适用于平缓信号，对于峰值处的分辨率较低，但是方差性能优于平均周期图法。5Yule-Walker方程图1650次Y-W法平均（红色：平均，蓝色：单次）Y-W是现代估计方法，对谱线的峰值有较好的跟随特点，且相对来说，也有较好的分辨率。Y-W在频谱分析上还是有较大的优势。6最小二乘法图1750次LS法平均（红色：平均，蓝色：单次）LS方法是依靠外推数据量来提高分辨率的，从图上可以看出，作为精估计，LS方法还是优于Y-W方法的。3分析信号源31周期图法图1850次周期图法从图中可以看出，该信号有两个峰值。但从图中可以看出，该方法的分辨率一般，且平均性也不太好，这主要是因为周期图法是有偏估计，当数据量小时，会表现的明显一些。2自相关法图1950次自相关法平均（红色：平均，蓝色：单次）自相关法与周期图法在本质上相同，只是采用了差值，因此曲线光滑，但是分辨率没有提高。3平均周期图法图2050次平均周期法平均（红色：平均，蓝色：单次）平均周期图法的方差性能较好，但是牺牲了分辨率，而且峰值幅度有所平缓。4Welch法图2150次welch法平均（红色：平均，蓝色：单次）Welch方法比较适用于平缓信号，对于有峰值的信号，对于峰值的跟随效果一般。5Yule-Walker方程图2250次Y-W法平均（红色：平均，蓝色：单次）Y-W方程对信号的处理，分辨率一般，毕竟是粗估计，平均效果一般。6最小二乘法图2350次LS法平均（红色：平均，蓝色：单次）LS方法采用外推数据量的方式，扩大数据量，提高分辨率，属于精估计，从图上可以看出，分辨率较好。5使用AIC准则确定阶数ln2kAICkNk图24AIC评估