【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：10.3-二项式定理(共34张PPT

§10.3二项式定理本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝________________________________________________．右边的多项式叫做(a＋b)n的___________，其中各项的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫做______________，式中的第r＋1项Crnan－rbr叫做二项展开式的通项，记作_________________.C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式二项式系数Tr＋1＝Crnan－rbr目录2．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“_______”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数是递增的；当kn＋12时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间一项_______取得最大值．当n是奇数时，中间两项________和______相等，且同时取得最大值．等距离nn2Cn-1n2Cn1n2C目录(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝_____.(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数之和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋…＝______.2n2n－1目录思考探究(a＋b)n的展开式中与(b＋a)n的展开式中第r＋1项一定相同吗？提示：不一定．(a＋b)n的第r＋1项为Crnan－rbr，而(b＋a)n的第r＋1项为Crnbn－rar.要注意二者之间的前后对应关系．目录课前热身1．(教材改编)(2x－1x)6的展开式倒数第三项为()A．－160B.60xC．240xD．－160x答案：B目录2．(1＋x2)5的展开式中x2的系数为()A．10B．5C.52D．1答案：C目录3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第n2＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项答案：C目录5．设n∈N*，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn等于________．4．(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝________.答案：255答案：1目录考点探究讲练互动考点突破考点1二项展开式中指定项的有关问题求展开式中某特定项(如有理项、常数项)或某指定项(如第r＋1项、含xr项)以及某指定项的系数、二项式系数等问题，通常是抓住通项公式不放．目录例1(2011·高考重庆卷)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9【思路分析】本题考查二项展开式中特定项及系数的求法；主要利用系数概念求出n.目录【解析】(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C5n(3x)5＝C5n35x5，展开式中含x6的项为C6n36x6，由两项的系数相等得C5n·35＝C6n·36，解得n＝7.【答案】B【解题感受】弄清某指定项的系数与展开式的二项式系数的区别．目录考点2二项展开式的系数和问题这类问题，一般采取“赋值”法，令二项式中的字母取特殊的数，构造出要求的和的形式．目录例2若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，即“赋值法”整体解决．目录【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：a7＋a5＋a3＋a1＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2得a6＋a4＋a2＋a0＝12[128＋(－4)7]＝－8128.目录【思维总结】求所有项的系数和，令变量取“1”，构造a0＋a1＋a2＋…＋an的形式．目录跟踪训练1．在本例中，求|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＋a0＝8256－(－8128)－1＝16383.目录考点3求二项展开式中系数最大(小)项如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项系数最大，应用Ar≥Ar－1Ar≥Ar＋1解出r来，即得系数最大项．目录已知(x－2x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．【思路分析】首先求出n值，再确定当系数绝对值最大时r的取值．例3目录【解】由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，则有C4n·－24C2n·－22＝101，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为Cr－18·2r－1，Cr8·2r，Cr＋18·2r＋1，若第r＋1项的系数绝对值最大，则Cr－18·2r－1≤Cr8·2r，Cr＋18·2r＋1≤Cr8·2r，解得5≤r≤6.又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1792x－11.由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1120x－6.【思维总结】注意本题中的项的系数有正有负，与r奇、偶性的关系．目录跟踪训练2．在本例展开式中系数最小的项是第________项，其系数为________．解析：由上述解答可知，T6的系数为负，且绝对值最大，则T6的系数为最小．其值为－C58·25＝－1792.答案：6－1792目录考点4用二项式定理证明整除或近似计算对于整除问题的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除；而对于近似计算，借助于二项展开式，省略后面的一些，作一些近似计算．目录(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．【思路分析】将已知表达式整理化简，转化为二项式定理问题．再根据题意把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某个数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑最后面(或最前面)的一、二项即可求解．例4目录【解】(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋Cn－1n×31＋Cnn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n)，显然上式括号内为整数．∴原式能被31整除．(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数，∴S除以9的余数为7.目录【误区警示】解答(1)时误认为项数为5n－1项而出错．解答(2)时误认为余数为－2出错．目录方法技巧1．利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，如通常的解法就是确定通项公式中r的值或取值范围．2．解决二项式指数是未知数的问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中的n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．方法感悟目录3．赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a、b、n的恒等式．除了正用、逆用这个恒等式，还可以根据系数和的特征，让a，b取相应的特殊值，从而得到要求(或证)的式子．至于特殊值a，b如何选取，视具体问题而定．例如：若(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则设f(x)＝(ax＋b)n.有：(1)常数项为a0＝f(0)；(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)；(3)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f(－1)；目录(4)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋a6＋…＝f1＋f－12；(5)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋a7＋…＝f1－f－12.4．应用二项式定理证明整除性问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项都能被另一个式子整除即可．因此一般要把被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开．此时可采用“配凑法”、“消去法”结合整除的有关知识来求解．目录失误防范1．要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同．2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用方法．注意取值有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值．解题易出现漏项等情况，应引起注意．切不可盲目代入x＝1或x＝－1.3．利用二项式定理求余数问题时，要注意被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式r(x)的关系；f(x)＝q(x)·g(x)＋r(x)，特别要注意余式r(x)的范围．余数不可为负数．4．二项展开式中，系数的最大与最小要注意n的奇偶性与函数的正负变化之间的关系．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，二项式定理是必考内容之一,考查的形式主要为选择题或填空题,也可能与数列问题融合在某一问题中出现．内容主要表现在：求展开式中的特定项、展开式系数和以及二项式定理的应用，均属基础题或中档题．在2012年的高考中，重点考查展开式中特定项的系数，系数的和差及利用系数间关系求值,在命题形势上看逐年升温．预测2014年高考在本节会出一道选择题或填空题,较大可能是考查二项式的通项公式Tr＋1和特定项系数之间的关系求值．目录典例透析例(2011·高考课标全国卷)x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40目录【解析】令x＝1得()1＋a()2－15＝1＋a＝2，所以a＝1.因此x＋1x2x－1x5展开式中的常数项即为2x－1x5展开式中1x的系数与x的系数的和.2x－1x5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(－1)r·x－r＝Cr525－r·x5－2r·(－1)r.令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此2x－1x5展开式中x的系数为C2525－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此2x－1x5展开式中1x的系数为C3525－3·(－1)3＝－40.所以x＋1x2x－1x5展开式中的常数项为80－40＝40.目录【名师点评】本题主要考查了二项展开式的系数求法及对二项展开式通项公式的理解与应用，考查逻辑思维能力、运算能力及分类讨论思想，对形如(x2＋1)(ax－1x)6或(1＋ax)n展开式的考查将逐年升温．【答案】D