高二下学期期末考试数学试卷

高二数学试题（理）第1页，共10页高二数学试题（理）第2页，共10页…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………准考证号：姓名：班级：高二下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）1．设zziiz2),(12则为虚数单位=（）（A）i1（B）i1（C）i1（D）i12．下列等于1的积分是（）A．dxx10B．dxx10)1(C．dx101D．dx10213.用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121nNnnn时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A.k2B.12kC.12kD.12k4.若()sincosfxx，则'()f等于（）（A）sin（B）cos（C）sincos（D）2sin5.函数xy1在点4x处的导数是（）(A)81(B)81(C)161(D)1616.已知随机变量服从正态分布84.0)4(),,2(2PN,则)0(P()(A)0.16(B)0.32(C)0.68(D)0.847.某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（）的停放方法共有（A）16种（B）18种（C）24种（D）32种8.若幂函数)(xf的图象经过点)21,41(A，则它在A点处的切线方程为（）（A）0144yx（B）0144yx（C）02yx（D）02yx9.若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数'()fx的图象可能是（）10.设)(xf是定义在R上的奇函数，2)2(f,当0x时，有)()(xfxxf恒成立，则不等式xxf)(的解集是（）（A）（2，0）∪（2，）（B）（2，0）∪（0，2）（C）（，2）∪（2，）（D）（，2）∪（0，2）11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A．16种B．18种C．24种D．32种12.设函数()fx是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()yfx在5x处的切线的斜率为（）Ａ．15Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．5二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13.若(2)aiibi，其中a、bR，i是虚数单位，则22ab_________。14.函数32xxy的单调增区间为_________________。15.定积分dxxx112的值等于_________________。16.若ABC内一点O满足0OCOBOA，则)(31ACABAO。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体ABCD内一点O满足0ODOCOBOA，则AO.三、解答题：（本题共6个小题，共74分）17.（本题共12分）一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.18．（本题共12分）已知()(1)(12),(,)mnfxxxmnZ展开式中x的系数为11，求：（1）2x的系数的最小值；（2）当2x系数取最小值时，求()fx展开式中x的奇数次幂项的系数之和。高二数学试题（理）第3页，共10页高二数学试题（理）第4页，共10页…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………19．（本题共12分）某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是41；②输入整数)2(nn时，输出结果)(nf是将前一结果)1(nf先乘以3n-5，再除以3n+1.（1）求f(2),f(3),f(4);（2）试由（1）推测f(n)（其中*Nn）的表达式，并给出证明.20.（本题共12分）已知函数xxxf3)(。（Ⅰ）求曲线)(xfy在点))(,(tftM处的切线方程；（Ⅱ）设0a，如果过点),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，证明：)(afba。21.（本题共12分）据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系：880312800013xxy。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22.（本题共14分）已知函数lnfxaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若kZ，且1fxkx对任意1x恒成立，求k的最大值；（3）当4nm时，证明mnnmmnnm．高二数学试题（理）第5页，共10页高二数学试题（理）第6页，共10页…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………准考证号：姓名：班级：参考答案(理)一、选择题：CCAADACBADCB二、填空题：13.514.)32,0(15．232ln(99.5%)16.ADACAB41三解答题17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中107)1(XP，30791073)2(XP，12078910723)3(XP,1201789107123)4(XP所以X的概率分布为X1234P10730712071201………………6分(2)由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中107)1(XP，256101083)2(XP，50027101010923)3(XP,50031010101010123)4(XP.所以X的概率分布为X1234P107256500275003………………12分18．解：（1）11211mnCC，所以211mn………………2分2221213514(1)2(1)()2416mnCCmmnnm………………4分当5,3mn时有最小值22；………………5分（2）由（1）5,3mn，所以53250125()(1)(12)fxxxaaxaxax从而53015(1)23faaa，………………8分012345(1)01faaaaaa，………………10分所以1351[(1)(1)]302aaaff，即奇数次幂项的系数之和为30………………12分19.解：由题设条件知f(1)=41,)(nf=1353nn)1(nf,2814171)2(f;701104281)3(f;1301137701)4(f.………………………………3分(2)猜想：)(nf)13)(23(1nn（其中*Nn）……………………5分以下用数学归纳法证明：（1）当1n时，41)113)(213(1,41)1(f，所以此时猜想成立。………………………………6分（2）假设*)(Nkkn时，)13)(23(1)(kkkf成立那么1kn时，]1)1(3][2)1(3[1)13(11)1(31)13)(23(11)1(35)1(3)(1)1(35)1(3)1(kkkkkkkkkfkkkf……………9分所以1kn时，猜想成立。由（1）（2）知，猜想：)(nf)13)(23(1nn（其中*Nn）成立。…………………………12分20解：（1）求函数)(xf的导数：13)('2xxf。曲线)(xfy在点))(,(tftM处的切线方程为：))((')(txtftfy，即322)13(txty。……………4分（2）如果有一条切线过点),(ba，则存在t，使322)13(tatb。于是，若过点),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，则方程03223baatt有三个相异的实数根。记高二数学试题（理）第7页，共10页高二数学试题（理）第8页，共10页…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………baatttg2332)(，则)(666)('2attatttg。当t变化时，)('),(tgtg的变化情况如下表：t)0,(0),0(aa),(a)('tg＋0－0＋)(tg↗极大值ba↘极小值)(afb↗由)(tg的单调性，当极大值0ba或极小值0)(afb时，方程0)(tg最多有一个实数根；当0ba时，解方程0)(tg得0t，23at，即方程0)(tg只有两个相异的实数根；当0)(afb时，解方程0)(tg得atat,2，即方程0)(tg只有两个相异的实数根。综上，如果过),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，即0)(tg有三个相异的实数根，则.0)(,0afbba即)(afba。…………………………12分21.（I）当40x时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100（小时），需蚝油5.175.2)840803401280001(3（升）。所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油5.17升…4分.（II）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶x100小时.设耗油量为)(xh升，依题意，得41580012801100)8803128001()(23xxxxxxh其中，1200x.…………………………………………………………7分2332'64080800640)(xxxxxh)1200(x.令0)('xh，得80x.因为当80,0x时，0)('xh，)(xh是减函数；当120,80x时，0)('xh，)(xh是增函数，所以当80x时，)(xh取得最小值25.11)80(h.所以当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为25.11升。………………………………………………………………12分22.解：（1）因为lnfxaxxx，所以ln1fxax．……………………………1分因为函数lnfxaxxx的图像在点ex处的切线斜率为3，所以e3f，即lne13a．所以1a．…………………………………………………………………………………2分（2）解：由（1）知，lnfxxxx，所以1fxkx对任意1x恒成立，即ln1xxxkx对任意1x恒成立．………………………3分令ln1xxxgxx，则2ln21xxgxx，……………………………………………………………………4分令ln2hxxx1x，则1110xhxxx，所以函数hx在1,上单调递增．……………………………………………5分因为31ln30,422ln20hh，所以方程0hx在1,上存在唯一实根0x，且满足03,4x．当01()0xxhx时，，即()0gx，当0()0xxhx时，，即()0gx，………………6分所以函数ln1xxxgxx在01,x上单调递减，在0,x上单调递增．所以000000min001ln123,411xxxxgxgxxxx．…