10内切球、外接球问题--原创

1处理球的“内切”“外接”问题一、球与棱柱的组合体问题：1正方体的内切球：设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。2.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA,求这个球的表面积是______.【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】3.已知底面边长为a正三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心1O、2O是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则aR632，正三棱柱的高为aRh3322，由ODARt11中，得图3图4图5图6222222221125633333aaaRaR，aR12511:5::222121RRSS，1:55:21VV二棱锥的内切、外接球问题4.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h(h为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间的关系。5.正三棱锥SABC，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少6.正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2.（球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。3．设,,,PABC是球O面上的四点,且,,PAPBPC两两互相垂直,若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是.4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥SABC中，侧棱SCSAB侧面，侧棱2SC，则此正三棱锥的外接球的表面积为5.（球内接棱柱问题）若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为。7.（球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为．8.（正三棱锥球内切问题）正三棱锥的高为3，底面边长为83，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则图13球的表面积与体积分别为．9.三棱锥ABCD的两条棱6ABCD,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．13；214；336a；412；592；61:5；7323R；864256;981