人教A版数学必修五《等比数列》课件

第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩课主自前预习课前预习·········································明确目标1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．新知初探同一常数这个常数2．等比数列的通项公式如果一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的通项公式是an＝.3．等比中项(1)如果三个数x，G，y组成，则G叫做x和y的等比中项．(2)如果G是x和y的等比中项，那么，即.a1qn－1等比数列G2＝xyG＝±xy1．如何理解等比数列的定义？思考感悟提示：(1)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，定义中“同一个”常数非常重要，切不可丢掉．(2)常数列是等差数列，但不一定是等比数列，如0,0,0…就不是等比数列．(3)定义给出了等比数列任意相邻两项的递推关系：an＋1an＝q(n∈N*)，即an＋1＝anq(n∈N*)，注意an＋1与an的顺序．2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？提示：不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．3．等比数列与指数函数有怎样的关系？提示：等比数列的通项公式可整理为an＝a1qqn.当q0，且q≠1时，y＝a1qqx(q≠1)是一个不为零的常数a1q与指数函数qx的乘积．从图表上看，表示数列{a1qqn}中的各项的点是函数y＝a1qqx的图象上的孤立的点．如下图，表示等比数列{2n－1}的各点都在函数y＝2x－1的图象上．课动互堂探究例练结合·········································素能提升类型一等比数列的通项公式的计算[例1]在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[分析]解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．典例导悟[解](1)方法一：因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8.②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.(2)方法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9.④由④③得q＝12，从而a1＝32，又an＝1，所以32×(12)n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.[点评]等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想求a1和q，这也是常见的方法．变式训练1已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，所以2q＋2q＝203，解得q1＝13，q2＝3.当q＝13时，a1＝18，所以an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝29，所以an＝29×3n－1＝2×3n－3.类型二等比中项[例2]已知a，－32，b，－24332，c五个数成等比数列，试求a，b，c的值．[解]∵b2＝(－32)×(－24332)＝(32)6，∴b＝±278.当b＝278时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23.由bc＝(－24332)2＝(32)10及b＝278，得c＝2187128＝(32)7.同理，当b＝－278时，a＝－23，c＝－(32)7.综上所述，a，b，c的值可为23、278、(32)7或－23、－278、－(32)7.[点评]1.本题中a，b，c的符号是一致的，在解题中常因忽略它们的符号关系而产生增解．2．若a，b，c成等比数列，则有b2＝ac，但反之不成立，这一点极易出错．变式训练2(1)公差不为0的等差数列{an}的第二、三、六项构成等比数列，则公比为()A．1B．2C．3D．4(2)等差数列a，b，c三项的和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a＝________.解析：(1)设{an}的公差为d，由已知，得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，∴d＝－2a1.∴a2＝a1＋d＝－a1，a3＝a1＋2d＝－3a1.∴公比q＝a3a2＝3.(2)由已知，得a＋b＋c＝12，b2＝ac＋2，2b＝a＋c，∴a＝2或a＝8.答案：(1)C(2)8或2类型三等比数列的判定与证明[例3]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求an的表达式．[分析]{an＋1}是等比数列⇐an＋1＋1an＋1＝q(常数)⇐把an＋1＝2an＋1变形为an＋1＋1＝2(an＋1)[解](1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．∴an＋1＋1an＋1＝2.∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.[点评]证明一个数列是等比数列的常用方法．(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．变式训练3已知数列{an}中，a1＝2,2an－an－1－1＝0(n≥2)．(1)判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由；(2)求an.解：(1)由2an－an－1－1＝0，得an＝12an－1＋12.∴an－1＝12(an－1－1)．∴an－1an－1－1＝12(n≥2)．又a1－1＝1，∴数列{an－1}是以1为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知an－1＝1·(12)n－1，∴an＝(12)n－1＋1.易错点：忽视an与Sn关系的条件[错题展示]已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n(n＝1,2，…)，试说明数列{an}是等比数列．自我纠错[错解]由已知可得Sn＝10n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)＝9×10n－1.又anan－1＝9×10n－19×10n－2＝10为一常数．∴数列{an}是等比数列．[错因分析]忽略了由Sn求an需n≥2，除此之外，还要保证从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一非零常数．[正解]由已知可得Sn＝10n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)＝9×10n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝9也满足上述通项公式，∴数列{an}的通项公式an＝9×10n－1.而当a≥2时，anan－1＝9×10n－19×10n－2＝10为一常数，∴数列{an}是等比数列．1．等比数列的定义(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0.(2)an＋1an均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．思悟升华(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是一个等比数列．(4)项不为0的常数数列是等比数列．(5)证明一个数列为等比数列，其依据是an＋1an＝q(n∈N*)，利用这种形式来判定，便于操作．2．等比数列的通项公式．在通项公式an＝a1qn－1中，有四个量a1，n，q，an，已知任何三个量均可求得另外一个量，或已知两个量，通过构建方程(组)达到求解目的．在等比数列中，公式an＝amqn－m也称为通项公式．随能知堂训练知识反馈·········································技能检验1．下列各组数成等比数列的是()①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与其前一项的比是否为同一个常数．①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比数列，公比q＝－2；③中数列当x＝0时，不是等比数列；④中数列是等比数列，公比q＝1a.答案：C2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数列{an}是()A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．不能确定是什么数列解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项，后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．答案：D3．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±14D.14解析：由an＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.答案：A4．2＋3与2－3的等比中项是________．解析：设等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝4－3＝1，∴G＝±1.答案：±15．若数列{an}满足an＝3an－1(n≥2)，且a3＝3，则a2＝________.解析：∵an＝3an－1(n≥2)，∴a3＝3a2∴a2＝a33＝33＝1.答案：16．在数列{an}中，an＝7·3n，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵an＋1an＝7·3n＋17·3n＝3.∴{an}是等比数列．