2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标表示

1122aee平面向量的基本定理其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.复习：新课导入2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为，下滑力为，木块对斜面的压力为，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？G1F2F1FG2F1FG2F重力产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力.也就是说，重力的效果等价于和的合力效果，即G1F2FG12.GFF=+1F2F在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.232aij把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且以向量为基底，向量如何表示？ai4a,ijaBOAPija,ijABCDoxyija如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij.aa=i+xjyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使i=j=0=（1，0）（0，1）（0，0）(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.aa这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作aa概念理解OxyAijaxya=xi+yjOA=xi+yj1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?OAa由唯一确定.a2．点A的坐标与向量的坐标的关系？两者相同向量坐标（x，y）一一对应OxyAijaxyaa例1:如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标.ijabcdAA1A2解：如图可知12a=AA+AA=2i+3ja=(2,3)同理b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa2.3.3平面向量的坐标运算向量运算的坐标化设1122R,(,),(,),axybxy试用坐标表示下列向量:ab1122()()xiyjxiyj1212()()xxiyyj即1122(,)(,)xyxy11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy向量的和、差运算可以用坐标表示为:1212(,)xxyyab结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。a向量的数乘运算？a11()xiyj11xiyj11a(,)xy即11,(,),Raxy若则结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标平面向量的坐标运算法则),(),(),(),(),,(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：重点探究：若已知点A、B的坐标分别为（1，3），（4，2），如何求的坐标呢？AB1234－1返回－5－2－3－4xy501234－1－2－3－4o(3,－1）的坐标可能为（x2－x1,y2－y1)ABB（4，2）A（1，3）··（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2）ABOAOB(x2x1,y2y1)(x2,y2)(x1,y1)结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。ABCDxyO解：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例5已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。例5已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。ABCDxyO另解：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量i,j作为基本单位向量，任作一向量a，由前分析可知，有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj.一.正交分解定义：归纳总结4、其中x、y叫做a在X、Y轴上的坐标.单位向量i=（1，0），j=（0，1）3、a=xi+yj=(x,y)1、把a=xi+yj称为向量的正交分解.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.1.平面向量坐标的加.减运算法则=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABabab(,)(,)axyxyab二.平面向量的坐标运算法则