高中数学复习-正弦定理与余弦定理人教版必修5

能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化；掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明．1．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形：a＝b或A＝B；(2)直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°；(3)钝角三角形：a2b2＋c2，A90°；(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2b2＋c2或A为最大角，且A90°.2．在△ABC中常用的一些基本关系式(1)A＋B＋C＝①________；(2)sin(B＋C)＝②________，cos(B＋C)＝③________，tan(B＋C)＝④________；(3)sinB＋C2＝⑤________；(4)cosB＋C2＝⑥________；(5)tanA＋tanB＋tanC＝⑦____________.1.(2011·北京卷)在△ABC中．若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝523.2.(2011·福建卷)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于2.3.在△ABC中，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.24B.23C.14D.344.在△ABC中，A、B的对边分别是a、b，且A＝30°，a＝22，b＝4，那么满足条件的△ABC()A．有一个解B．有两个解C．无解D．不确定5.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则cosC＝()A.23110B．－23110C.73130D．－73130一用正、余弦定理判定三角形形状【例1】在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．【点评】依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．素材1二用正、余弦定理解斜三角形【例2】在△ABC中，(1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.【分析】(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解．【点评】(1)三角形有三角三边六元素，只要知道三元素(至少有一边)就可求出其余元素．(2)已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．(3)应熟练掌握余弦定理及其推论，解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．素材2三用正、余弦定理求解综合问题【例3】(2011·安徽卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【点评】(1)正、余弦定理往往在一道题中交叉使用，以达到“知三求三”的目的；(2)正、余弦定理关键是实现边角互化，注意因题而异，巧妙选择，简化运算；(3)在平面几何中应画出草图，理清思路，重点研究直角三角形，条件较集中的三角形，寻找突破口．在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．素材3备选例题如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的重心G.设∠MGA＝α(π3≤α≤2π3)．(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数；(2)求y＝1S21＋1S22的最大值与最小值．【点评】本题第(1)问主要考查解三角形，涉及正弦定理的应用；第(2)问考查三角恒等变形以及三角函数在给定区间上的最值问题，化简为y＝72(3＋1tan2α)加以解决．1．解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键．并关注角的取值范围．如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况．2．利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状．3．解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理．在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根．