数学史第1章数学起源与早期发展

数学史范永顺绪论•数学史主要研究数学科学发生发展及其规律。学习数学史的意义：1、数学是一门积累性很强的学科，不了解数学史就不能了解数学学科。古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点。著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。2、通过学习数学史可以了解数学知识的来龙去脉，有利于教学。活跃课堂气氛，增加学习兴趣，提高教学效果．如在讲无穷递缩等比数列的和时，可以从“芝诺悖论”讲起。2011山东理13:执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是3、通过学习数学史可以获得人文科学的修养。通过数学史学习，可以使数学专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在人格培养上发挥十分重要的作用。•4、学习数学史料有利于掌握数学思想。•数学中有许多数学思想．如，当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着对应思想的产生；而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时，就意味着符号思想的出现•学习要求•本课程开卷考试和课程论文结合的考核方式。•要求在课堂上简要记笔记。•参考书目：•李文林.数学史概论•梁宗巨.世界数学史通论•李迪.中国数学史简编•(美)H.伊夫斯.数学史上的历程碑•网站:••糜克定的科学园——趣味数学、数学乐园•糜克定的科学园——世界著名数学家传记1、数学的萌芽数学起源与早期发展数的概念的形成大约是在30万年以前记数是伴随着计数的发展而发展的●手指记数亚里士多德：采用十进制是因为多数人生来具有十个手指●石子记数●结绳记数●刻痕记数《周易·系辞下》：上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。基普（印加）幼狼胫骨（捷克）大约五千年前，出现书写记数及相应的记数系统。几种古老文明的早期记数系统：◆巴比伦数字：六十进制◆玛雅数字：二十进制◆其余数字：十进制记数系统的出现使数与数之间的运算成为可能最初的几何知识从人们对形的直觉中萌发出来。这组照片显示了早期人类不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的应用。在不同地区，几何学的来源不尽相同：●古埃及：土地的丈量●古印度：宗教实践●古代中国：天文观测兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。1.1埃及数学埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征。埃及象形文字产生于公元前3500年左右，约公元前2500年被简化为一种更易书写的“僧侣文”，后又发展成所谓“通俗文”。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜。吉萨金字塔(公元前2600年)1799年，拿破伦远征军的士兵在埃及古港口罗赛塔发现一块石碑，碑上刻有用三种文字----希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文，才使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今。我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书----莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱茵德(H.Rhind)购得，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆,见图.有时人们也称这部纸草书为阿姆士纸草书，他在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，而根据阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作，其中涉及的数学知识一部分可能得传于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞尔的御医，同时也是一位传奇式的建筑师，曾督造过这位法老的金字塔。●莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草书是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔（约公元前1890年），也是用僧侣文写成。这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。这种记数制以不同的特殊记号分别表示10的前六次幂：简单的一道竖线表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10000，一条江鳕鱼表示100000，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示1000000.其他数目是通过这些数目的简单累积来表示的，如数12345则被记作100100010000100000100000012345在两部纸草书中，象形文字被简化为僧侣文数字:28在象形文字中被表示为,而在僧侣文中被写成，值得注意的是这里把代表较小数字的8（记二个4）的符号（=）置于左边而不是右边。随着青铜文化的崛起，分数概念与分数记号应运而生。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数）：在整数上方画一个长椭圆；纸草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号。在多位数的情形，则点号置于最右边的数码之上。20181例如象形文字僧侣文字单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。埃及人将所有的真分数都表示成一些单位分数的和。为了使这种分解过程做起来更为容易，莱茵德纸草书在阿姆士的前言之后给出了一张形如2/k（k为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。利用这张表，可以把例如7/29这样的分数表成单位分数之和：.232187158124161297埃及人最基本的算术运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的。如69×19是这样来进行的：将69加倍到138，又将这个结果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104(此即69的16倍)。因为19=16+2+1，所以69×19的答数应为1104+138+69=1311。纸草书中有些问题可以被归之为我们今天所说的代数学范畴，它们相当于求解形如或的一次方程。baxxcbxaxx埃及人称未知数为“堆”(aha,读作“何”)。如莱茵德纸草书第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。纸草书作者所用的解法实质是一种算术方法，即现在所谓的“假位法”：先假设一个特殊的数作为“堆”值（多半是假值），将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法算出正确答数。在上例中，数7作为未知数的试验值，于是，而应得结果是，这两个结果之比为等于，将7乘以（）即得正确的“堆”值为。x871xx819814128141281211619埃及几何学是尼罗河的赠礼。古希腊历史学家希罗多德在公元5世纪曾访问考察过埃及，并在其著作《历史》一书中写道：西索斯特里斯……在埃及居民中进行了一次土地划分。……假如河水冲毁了一个人所得的任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失地段的确切面积。……我认为，正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后来又把它传给了希腊人。现存的纸草书中可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式，例如莱茵德纸草书中的第52题，通过将等腰梯形转化为矩形的图形变换，得出了等腰梯形面积的正确公式。埃及人对圆面积给出了很好的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形面积。如果与现代公式相比较，就相当于取值为。1605.3埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书中的14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于：).(322babahV这个公式是精确的，并且具有对称的形式。埃及数学是实用数学,但也有个别例外，例如莱茵德纸草书第79题：7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。有人认为这是一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。1.2古巴比伦数学底格里斯河与幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明的发祥地之一。早在公元前四千年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。两河流域的居民用尖芦管在湿泥板上刻写楔形文字，然后将泥板晒干或烘干。迄今已有约50万块泥板文书出土。对楔形文字的释读比埃及文字要晚，关键的一步是在19世纪70年代迈出的，当时发现的贝希斯敦石崖，上面用三种文字（波斯文、埃及文和巴比伦文）记载着波斯王大流士一世的战功。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文字的奥秘。1.2古巴比伦数学1.2古巴比伦数学泥版楔形文普林顿322现存泥板文书中大约有300块是数学文献。对这些泥板文书的研究揭示了一个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期数学文化。美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。这种记数制对60以内的整数采用简单十进累记法，例如59记。对于大于59的数，则采用六十进制的位制记法。同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。例如这一写法中，右边的表示两个单位；中间的表示基数（60）的2倍；而左边的则表示基数（60）的平方的2倍，因此这个数字是指，用十进制写出来就是7322。2)60(2)60(22这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。这样，美索不达米亚人表示122和7202的形式是相同的，人们只能根据上、下文来消除二义性。不过在公元前3世纪的泥板文书中开始出现一个专门的记号，用来表示没有数字的空位。这记号是由两个斜置的小楔形组成。有了这个空位记号，人们就很容易将数与区分开来了。)2)60(0)60(2(2美索不达米亚人的记数制远远胜于埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。美索不达米亚人对分数能够跟对整数一样运算自如。美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他们创造了许多成熟的算法，开方根计算就是有代表性的例子之一。这种开方程序既简单又有效：设是所求平方根，并设是这根的首次近似；由方程求出第二次近似，若偏小，则偏大，反之亦然。取算术平均值为下一步近似，因为总是偏大，再下一步近似必偏小，取算术平均值将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号7289），其上载有的近似值，结果准确到六十进制三位小数，用现代符号写出来是1.414213，是相当精确的逼近。ax1a11/aab1b1a1b)(21112baa2a22/aab)(21223baa2美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，在现有的300多块数学泥板文书中，就有200多块是数学用表，包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至还有指数（对数）表。美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度。来自古巴比伦时代的一些泥板文书则表明，已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程。例如，耶鲁大学收藏的一块泥板文书中有这样的问题：已知依几布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。问依几布姆和依古姆各为多少？这里igibum和igum是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专有术语，在十进制中则相当于乘积为六十之幂的两个数。若以x表示igibum，y表示igum，则该题相当于求解方程组这又