定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1)函数)(xf在区间],[ba上连续；(2)函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；(3)当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(，则有dtttfdxxfba)()()(．(1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(tx应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算211dxxx．解令tx1，则tdtdxtx2,12．当1x时，0t；当2x时，1t．于是102102211112211dtttdtttdxxx412)arctan(210tt．例2计算adxxa022)0(a．aaOxy图5－8解令taxsin，则tdtadxcos．当0x时，0t；当ax时，2t．故adxxa022dttata20coscosdtta)2cos1(22022022sin212tta42a．显然，这个定积分的值就是圆222ayx在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3计算205sincosxdxx．解法一令xtcos，则xdxdtsin．当0x时，1t；当2x时，0t，于是6161sincos016501205tdttxdxx．解法二也可以不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改变．即xdxxdxxcoscossincos20520561610cos61206x．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4计算dxx0sin1．解dxx0sin102cos2sindxxx注去绝对值时注意符号．=220)2cos2(sin)2sin2(cosdxxxdxxx=2022(sincos)2(cossin)2222xxxx=)12(4．例5计算02sin3sindxxx．解设xtcos，则当0x时，1t；当x时，1t．02sin3sindxxx=1111224141dttdtt11arcsin23t．例6设)(xf在],[aa上连续，证明：(1)若)(xf为奇函数，则0)(aadxxf；(2)若)(xf为偶函数，则dxxfdxxfaaa)(2)(0．证由于dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00,对上式右端第一个积分作变换tx，有dttfdttfdxxfaaa)()()(000dxxfa)(0．故dxxfxfdxxfaaa)]()([)(0．(1)当)(xf为奇函数时，)()(xfxf，故00)(0dxdxxfaaa．(2)当)(xf为偶函数时，)()(xfxf，故dxxfdxxfdxxfaaaa)(2)(2)(00．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如0sin6xdxx．1122112)424()4(dxxxdxxx80411dx．2．定积分的分部积分法设函数)(xu与)(xv均在区间],[ba上有连续的导数，由微分法则vduudvuvd)(，可得vduuvdudv)(．等式两边同时在区间],[ba上积分，有vduuvudvbababa)(．(2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a与b是自变量x的下限与上限．例7计算xdxeln1．解令dxdvxu,ln，则xvxdxdu,．故xdxxxxxdxeee111]ln[ln1)1()0(ee．例8计算xdxx3cos0．解xxdxdxx3sin313cos00xdxxx3sin3sin310003cos31031x92．例9计算402cos1dxxx．解402cos1dxxx=40402tan21cos2xxddxxx=)tantan(214040xdxxx=)cosln4(2140x=2ln418．例10计算403secxdx．解40402403tansecsecsecsecxxdxdxxxdxxdxxxxxtansectantansec4040xdxxsec)1(sec224040403secsec2xdxxdx40403)tanln(secsec2xxxdx)12ln(sec2403xdx．即)12ln(2sec2403xdx注移项得．故)12ln(2122sec403xdx．例11计算dxex10．解先用换元法，令tx，则tdtdxtx2,2．当0x时，0t；当1x时，1t．于是dttedxetx10102．再用分部积分法，得dxex1011100022()ttttdeteedt2)]1([2ee．小结：1．定积分换元积分定理：假设(1)函数)(xf在区间],[ba上连续；(2)函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；(3)当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(．则有dtttfdxxfba)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(xu与)(xv均在区间],[ba上有连续的导数，则有vduuvudvbababa)(．