5.1-原函数与不定积分的概念

2010-10-251第五章第五章第五章不定积分不定积分不定积分§5.1.原函数与不定积分的概念§5.2.基本积分公式§5.3.换元积分法§4分部积分法§5.4.分部积分法§§5.15.1原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念一、原函数一、原函数二、不定积分二、不定积分三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质1、问题的提出我们知道xxcos)(sin反之，xcos)?(一、原函数一、原函数)()Csinx(cosx不难知道因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数。一、原函数一、原函数例如，在区间(,)内，因为(sinx)cosx，所以sinx是cosx的一个原函数。提问：cosx还有其它的原函数吗？提示：cosx的原函数还有sinxC。两点说明：(1)、如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C都是f(x)的原函数，其中C是任意常数。一、原函数一、原函数（2）若和都是的原函数)(xF)(xG)(xf（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xfCxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C原函数两个问题一个函数若存在一个原函数，则它必有无穷多个原函数。一、原函数一、原函数原函数两个问题（a）存在问题(证明见定积分).)(,)(上存在原函数在区间则上连续在区间若函数IxfIxf（b）结构问题2010-10-252二、二、不定积分不定积分1.定义：设I为某区间，称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记作dxxf)((3)任意积被积CxFdxxf)()(被积积注2.符号差别：与baxxfd)(xxfd)(注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数的微分。数一族函数称为被积表达式。d)(xxf意常数积分号积函数积表达式积分变量定理1.设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则CxFxxf)(d)((4)其中C为任意常数.称为积分常数C二、二、不定积分不定积分0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4如果F(x)是f(x)的一个原函数，则dxxf)(F(x)C。所以Cxxdxsincos。所以Cxdxx323。因为(sinx)cosx，例1．因为(x3)3x2，例2．二、二、不定积分不定积分当x0时，合并上面两式，得到Cxdxx||ln1(x0)。(lnx)x1，Cxdxxln1(x0)；[ln(x)]x1，Cxdxx)ln(1(x0)。求函数xxf1)(的不定积分。例3．当x0时，解：yy=x2函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。Cxxdx22y=x2+C1函数f(x)的积分曲线也2、不定积分的几何意义二、二、不定积分不定积分-1O1xC1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。例4．求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为yf(x)，则yf(x)2x，即f(x)是2x的一个原函数。yyx2+2二、二、不定积分不定积分因为所求曲线通过点(1,3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。21O12x2112yyx2(1,3)．因为Cxxdx22，所以y=f(x)x2C。例5：xxd2解：容易看到2x'x3)(3两边除以3，得23)(31x'x求导数的性质yy=x2x二、二、不定积分不定积分求导数的性质的一个原函数。为得2331xx),())((x'af'xafCxxx3231dy331xyx因此,2010-10-253010cos)(2xCxxCxxg00sin)(xxxxxf设例6二、二、不定积分不定积分02xCx.)1,0()()2()()()1(点的积分曲线过求的不定积分吗？是问：xfxfxg[解]不是！处不连续在点因为0)(xxg(1)的积分曲线族首先要求)()2(xf0210cos)(221xCxxCxxG上的原函数在是若分段积分，得二、二、不定积分不定积分上的原函数在是若RxfxG)()(连续在0)(xxG)0()(lim)(lim00GxGxGxx121CC01210cos)(2xCxxCxxG01coslim)0(0xxGx又xxGxsin)(,0时当xxGx)(,0时当二、二、不定积分不定积分01121lim)0(20xxGx0)0(G)()(,),()(xfxGxG且上可导在于是01210cos)(2xCxxCxdxxf01210cos)(2xCxxCxxGy即的积分曲线族是)(xf二、二、不定积分不定积分得令,1)0(,0Gx0C01210cos)(2xxxxxFy点的积分曲线过是)1,0()(xf三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质1)2)xxgxxfxxgxfd)(d)(d))()((为常数d)(d)(xxfxxf2)为常数,d)(d)(xxfxxfdxxfkxfk)]()([2211dxxfkdxxfk)()(2211线性运算性质3)4))(d)(ddxfxxfxCxfxx'f)(d)(dxxfdxxfd)())((三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质4)Cxfxxf)(d)(Cxfxdf)()(不定积分与微分互为逆运算2010-10-254例1.d11322xxxx求解)(165211322除法xxxxx三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质xxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2.|1|ln652Cxxx例2.)())((dbabxaxx求解xbxaxbabxaxxd111))((d三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质bxaxbabxax))((xbxxaxbad1d11.ln1Cbxaxba部分分式法例3.dsincos2cos22xxxx求解dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxx三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质xxxxdcos1dsin122.tancotCxx例4.dsincos2cos22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos4dsincos2cos2222三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质xxxd)2(sin2cos22221vvv.2sin2Cx两个答案不同例5.sin1dxx求解d)sin1)(sin1(sin1sin1dxxxxxx利用平方差公式三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质xxxdcossin12xxxxxdcossindcos122.sectanCxx想想它是谁的导数？例6.d2xexx求解Ceexexexxxx)2ln()(2d)2(d2三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质)(.2ln12Cexxaaaxxln)(2010-10-255例7.d||xex求解,0时当x,dd1||Cexexexxx,0时当x,dd2||Cexexexxx三、三、不定积分的基本性质不定积分的基本性质2,故必是连续函数由于一个函数的原函数,)(lim)(lim2010CeCexxxx,221从而即有CC.0,,0,2d||xCexCexexxx.)(为积分常数C