强度理论

第五节强度理论一、强度理论概述各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。根据第五章的讨论，我们知道象普通碳钢这样的塑性材料，是以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志；而象铸铁这样的脆性材料，失效现象是突然断裂。第五～八章的强度条件可以概括为最大工作应力不超过许用应力，即max或max。这里的许用应力是从试验测得的极限应力除以安全系数得到的，这种直接根据试验结果来建立强度条件的方法，对于危险点处于复杂应力状态的情况不再适用。这是因为复杂应力状态下三个主应力的组合是各种各样的，1、2和3之间的比值有无限多种情形，不可能对所以的组合都一一试验确定其相应的极限应力。事实上，尽管失效现象比较复杂，但可以归纳为如下二点：1．材料在外力作用下的破坏形式不外乎有几种类型；2．同一类型材料的破坏是由某一个共同因素引起的。人们在长期的实践中，综合多种材料的失效现象和资料，对强度失效提出各种假说。这些假说认为，材料按断裂或屈服失效，是应力、应变或变形能等其中某一因素引起的。按照这些假说，无论是简单还是复杂应力状态，引起失效的因素是相同的，造成失效的原因与应力状态无关。这些假说称为强度理论。利用强度理论，就可以利用简单应力状态下的试验（例如拉伸试验）结果，来推断材料在复杂应力状态下的强度，建立复杂应力状态的强度条件。强度理论是推测材料强度失效原因的一些假说，它的正确与否以及适用范围，必须在工程实践中加以检验。经常是适用于某类材料的强度理论，并不适用于另一类材料。下面介绍的四种强度理论，都是在常温静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。二、四种强度理论1）最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉压力，它是人们根据早期使用的脆性材料（象天然石、砖和铸铁等）易于拉断而提出的。该理论认为无论什么应力状态下，只要构件内一点处的最大拉压力1达到单向应力状态下的极限应力b，材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为1=b（11-12）将极限应力b除以安全系数得到许用应力，于是危险点处于复杂应力状态的构件，按第一强度理论建立的强度条件为1（11-13）铸铁等脆性材料在单向拉伸下，断裂发生于拉应力最大的横截面。脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜面发生断裂。这些用第一强度理论都能很好地加以解释。但是对于一点处在任何截面上都没有拉应力的情况，第一强度理论就不再适用了，另外该理论没有考虑其他两个应力的影响，显然不够合理。2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即无论什么应力状态，只要最大伸长线应变1达到单向应力状态下的极限值u，材料就要发生脆性断裂破坏。假设单向拉伸直到断裂仍可用胡克定律计算应变，则拉断时伸长线应变的极限值Ebu。于是危险点处于复杂应力状态的构件，发生脆性断裂破坏的条件为1=Eb（a）由广义胡克定律得1=3211E，代入（a）式得到断裂破坏条件b321（b）将极限应力b除以安全系数得到许用应力，于是危险点处于复杂应力状态的构件，按第二强度理论建立的强度条件为321（11-14）最大伸长线应变理论能够很好地解释石料、混凝土等脆性材料的压缩试验结果，对于一般脆性材料这一理论也是适用的。铸铁在拉——压二向应力且压应力比较大的情况下，试验结果也与这一理论接近。但对于铸铁二向受拉伸(120),试验结果并不象(b)式表明的那样，比单向拉伸安全。另外按照最大伸长线应变理论，二向受压与单向受压强度不同，但混凝土、花岗石和砂岩的试验表明，二向和单向受压强度没有明显差别。最大拉压力理论和最大伸长线应变理论都是以脆性断裂作为破坏标志的，这对于砖、石、铸铁等脆性材料是十分适用的。但对于工程中大量使用的低碳钢这一类塑性材料，就必须用以屈服（包含显著的塑性变形）作为破坏标志的另一类强度理论。3）最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即无论什么应力状态，只要最大切应力max达到单向应力状态下的极限切应力0，材料就要发生屈服破坏。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性屈服破坏的条件为max=0（a）根据轴向拉伸斜截面上的应力公式（11-2）可知极限切应力2s0（这时横截面上的正应力为s），由公式（11-10）得max=13=231，将这些结果代入（a）式，则破坏条件改写为s31考虑安全系数后得到强度条件为：31（11-15）式中，是由材料在轴向拉伸时的屈服极限s确定的许用应力。最大剪应力理论能很好地解释塑性材料的屈服现象。例如低碳钢试件拉伸时出现与轴线成450方向的滑移线，是材料内部沿这一方向滑移的痕迹。沿这一方向的斜面上切应力也恰为最大。另外最大切应力理论的计算也比较简便，所以应用相当广泛。但公式（11-15）中未计入2的影响，这一点不够合理。4）形状改变比能理论（第四强度理论）这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素。即无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。在这里我们略去详细的推导过程，直接给出按照这一理论建立起来的最后结果。即危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性屈服破坏的条件为s21323222121引入安全系数后，得到第四强度理论的强度条件为：21323222121（11-16）形状改变比能理论是从反映受力和变形的综合影响的应变能出发来研究材料的强度的，因此比较全面和完善。试验证明，根据这一理论建立的强度条件，对钢、铝、铜等金属塑性材料，比第三强度理论更符合实际，主要原因是它考虑了主应力2对材料破坏的影响。三、强度理论的应用强度理论的建立，为人们利用轴向拉伸的试验结果去建立复杂应力状态下的强度条件，提供了理论基础。但是，由于材料的破坏是一个非常复杂的问题，而上述四个强度理论都是在一定的历史阶段、一定的条件下，根据各自的观点建立起来的，所以都有一定的局限性，即每个强度理论只适合于某些材料。在常温和静载荷条件下的脆性材料，破坏形式一般为断裂，所以通常采用第一或第二强度理论。第三和第四强度理论都可以用来建立塑性材料的屈服破坏条件，其中第三强度理论虽然不如第四强度理论更适合于塑性材料，但其误差不大，所以对于塑性材料也经常采用。把四种强度理论的强度条件写成统一的形式r（11-17）这里r代表（11-13）～（11-16）各式的左端项，即11r（第一强度理论）（11-18）3212r（第二强度理论）（11-19）313r（第三强度理论）（11-20）1332212322214r（第四强度理论）（11-21）代表单向拉伸时材料的许用应力，式（11-17）意味着将一复杂应力状态转换为一强度相当的单向应力状态，故r称为复杂应力状态下的相当应力。需要强调的是，r只是按不同强度理论得出的主应力的综合值，并不是真实存在的应力。图11-15所示的二向应力状态在机械设计中常常遇到，例如圆轴扭转和弯曲的联合、圆图11-15轴扭转和拉伸的联合以及梁的弯曲等。这时相当应力的公式还可以进一步简化。为此，首先将x，y=0，x代入公式（11-6），得到22minmax22将主应力按其代数值顺序排列，可得此应力状态下的三个主应力为22122，02，22322(a)采用最大切应力理论，将(a)式代入（11-20）式，整理得到在此应力状态下的相当应力223r4（11-22）同理采用形状改变比能理论，将(a)式代入（11-21）式，整理得到在此应力状态下的相当应力224r3（11-23）例11—4证明各向同性线弹性材料的弹性模量E、泊松比和切变模量G之间存在下列关系：)1(2EG证明：对于纯剪切变形，设想从构件中取出图11—16a所示单元体，并设单元体的左侧d)图11—16面abcd固定，右侧面的剪力为dydz，由于剪切变形，右侧面向下错动的距离为dx，从efgh位置变化到e’f’g’h’位置。若切应力有一增量d，切应变的相应增量为d，右侧面向下位移的增量应为dxd，剪力dydz在位移dxd上完成的功为dxddydz。在应力从0开始逐渐增加的过程中，右侧面上的剪力dydz总共完成的功应为10dxddydzdWdW等于单元体内储存的变形能dU，故dVddxddydzdWdU)(1100式中dxdydzdV为单元体的体积。以dU除以dV得到单位体积内的剪切变形能（比能）为10ddVdUu如图11—16c所示，在线弹性范围内有剪切胡克定律G，故上式积分结果为Gu2212(a)按照例11—2的分析，纯剪切的主应力是（图11—16d）：321,0,(b)于是三向应力状态的比能是332211212121u将广义虎克定律式（11-11）代入上式，得到)](2[21133221232221Eu将(b)式代入上式，整理得到Eu)1(2（c）比较(a)、(c)二式，得到)1(2EG例11—5如图11—17所示，设钢的许用拉应力=160MPa,试按最大剪应力理论和形状改变比能理论确定其许用切应力。图11—17解根据题给条件，要求钢在纯剪切状态下满足最大切应力理论强度条件和形状改变比能理论强度条件。如图11—17所示，x=y=0，x。由公式（11-6）得2x2yxyxminmax22这样1，02，3。把231代入最大剪应力理论强度条件即公式（11-15），有2，所以=80MPa。把1、2、3代入形状改变比能理论强度条件即公式（11-16），有213232221213所以=92.4MPa。例11-6某圆筒式封闭薄壁容器如图11-18所示，已知最大内压力的压强aMP3p，容器内径m1D，壁厚m010.0t，材料许用正应力aMP160。试按形状改变比能理论校核其强度。图11-18解首先对壁板进行应力分析，确定主应力，然后用形状改变比能理论进行强度校核。（1）应力分析由于容器本身的形状和它所受的内压力都对称于轴线，故容器壁只发生沿轴向的伸长和对轴线对称的径向扩张。因此在容器的横截面和径向纵截面上只有拉应力而无剪应力。先分析计算横截面上的拉应力：作用在容器底部上的总压力4DpP2，其对圆筒是轴向拉力。由于Dt，故由图11-18c可知薄壁圆筒受拉截面面积)D(tA，由此可得圆筒横截面上的正应力aa6275MPP01.04110344)(tpDDtDpDtPAP。再分析计算容器径向纵截面上的拉应力：假想用通过直径的纵截面把容器连同其产生内压力的介质截开，并沿轴线方向截取单位长度，取图11-18d所示分离体。在此分离体上受铅垂方向向下的内压力R，其值为pD1。由于t很小，可以认为在纵截面上的拉应力均匀分布，纵截面上与拉应力相应的内力为1t2，此力将与R平衡。即1t2-pD1=0从而得到aa6MP150P01.0211032tpD。（2）确定主应力以上得到和分别是沿容器的轴向和周向的两个主应力，如图11-18e所示。从容器的受力情况可知