“三线合一”性质的逆定理

一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：⊿ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE,∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。证明②：已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形证明③：已知:⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理②的简单应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，ABAC。求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E，由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。（2）逆定理②与中位线综合应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。求证：EF∥AB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形，∴点E是GC的中点∴EF是⊿BGC的中位线∴得证。例题2如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC,∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求：FG的长。分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、AF来构造等腰三角形。简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形∴点G是AK的中点同理可得点F是AH的中点∴FG是⊿AHK的中位线由此就可解出FG的长。（3）逆定理②与直角三角形的综合应用例题1已知，如图，AD为Rt⊿ABC斜边BC上的高，∠ABD的平分线交AD于M，交AC于P,∠CAD的平分线交BP于Q。求证：⊿QAD是等腰三角形。分析：由直角三角形的性质可知道∠AQM=90°，由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以想到延长AQ交BC于点N。简单证明：由添辅助线得出⊿ABN是等腰三角形∴Q点是AN的中点在Rt⊿AND中，Q是中点∴QA=DQ,∴得证。例题2如图，在等腰⊿ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长BE和AC，交于点F。简单证明：由所添辅助线可知⊿ABF是等腰三角形∴E点是BF的中点∴BF=2BE=10再由⊿ADC和⊿BFC的全等得出AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的目的。（4）逆定理③的简单应用（即垂直平分线的应用）例题1（2006年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。证明:⊿AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-----过点A作AD⊥x轴，垂足为D及直线y=x的性质，可以知道⊿AOB是等腰直角三角形。例题2如图，以⊿ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，求证：若DF∥BC,则AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线AH简单证明：分别过点A、D、F作AH⊥BC，DI⊥BC,FJ⊥BC,分别交BC于点H，CB的延长线于I，BC的延长线于J由DF∥BC，DI=FJ又⊿AHC≌⊿CJF（AAS），⊿ABH≌⊿BDI(AAS)∴HC=FJ,BH=DI∴BH=HC,∴得证。抓住已知条件和结论的联系，（例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。（5）逆定理③在作图中的应用已知：线段m，∠α及∠β，求作⊿ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为m以及外角的性质我们可以找到一顶点A，再由垂直平分线与边的交点找到另两个顶点B和C。作法：1、画射线OP，在OP上截取线段OQ=m,2、画射线OM，使∠MOP=1/2∠α3、画射线QN，使∠NQO=1/2∠β,交射线OM于点A4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交OQ于B，C两点，⊿ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强化学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路，丰富联想，从而达到融会贯通的目的。