习题六答案

1习题六6.1假设一位运动员在完全相同的条件下重复进行n次打靶，试给出总体样本的统计描述．解：总体就是该运动员在完全相同的条件下重复进行的打靶。样本就是该运动员在完全相同的条件下重复进行n次打靶。6.2设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p未知，每m件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n盒，查其中的不合格品数．试说明什么是总体，什么是样本，指出样本的分布．解：总体就是该厂生产的所有某种产品。样本就是从该厂生产的某种产品中抽取的nm件产品。样本的分布为1111{,,}(1),0,1,1,2,,.nmnmiiiixnmxnmnmiPXxXxppxinm6.3某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n件厂品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体就是该厂生产的所有电容器。样本就是从该厂生产的电容器中抽取的n件电容器。样本的分布为112{,,},0,1,2,,.niixnnipxxxexin6.4以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数：149，156，160，138，149，153，153，169，156，156．试由这批数据构造经验分布函数并作图．解：经验分布函数为100,138,1/10,138149,3/10,149153,()5/10,153156,8/10,156160,9/10,160169,1,169.xxxFxxxxx经验分布函数图形如下：6.5某食品厂用自动装罐机生产净重为345克的午餐肉罐头，现在从生产线上随机抽取10个罐2头，秤其净重，得如下结果：344336345342340338344343344343试由这批数据构造经验分布函数并作图；计算其样本均值，样本方差和样本标准差．解：__341.9000,x28.7667,s8.76672.9609.s6.6假如某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：9091086112099913201091107110811130133696715728259149921232950775120310251096808122410448711164971950866738（1）编制该批数据的频率分布表（分6组）；（2）绘制频率分布画出直方图．解：（1）略。（2）频率直方图如下：6.7为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的100株的底部周长，得到如下数据表（长度单位：cm）：1359810211099121110961001031259711711311092102109104112109124871319710212310410412810512311110310592114108104102129126971001151111061171041091118911012180120121104108118129999099121123107111911003991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1）编制该批数据的频率分布表；（2）绘制频率分布直方图．解：（1）略。（2）频率直方图如下6.8对下列数据构造茎叶图．452425447377341369412399400382366425399398423384418392372418374385439408409428430413405381403469381443441433399379386387解：茎叶图如下43413669372479381124567392899400358941238842355843039441374524696.9设总体X的分布函数为()Fx，经验分布函数为()nFx．试证对任意给定的0，成立不等式：21(|()()|)4nPFxFxn．证明：因为()()11(){}()innxxXxiEFxEIEIPXxFxn，所以2()()22221(())(|()()|)(|()()|)111{}[1{}]1()().4innnnnxxXxiVarFxPFxFxPFxEFxPXxPXxVarIVarInnnn6.10在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为：4，5，6，0，3，1，4，2，1，4．试计算其样本均值，样本方差和样本标准差．解：__234343,,.93xss6.11证明：对任意常数c，d，有____11()()()()()()nniiiiiixcydxxyynxcyd．证明：由题意知________11________________1____1()()()()[()()()()()()()()]()()()()nniiiiiiniiiiiniiixcydxxxcyyydxxyyxxydxcyyxcydxxyynxcyd56.12从总体X中抽取样本值12(,,,)nxxx．试证：（1）_1()0niixx；（2）__22211()()()nniiiixcxxnxc；（3）21()niixc在_cx时达最小；（4）1||niixc在0.5cm时达最小．证明略。6.13若来自总体的一个样本的不同观测值为1x，2x，…，mx，其频数分别为1n，2n，…，mn．试写出计算样本平均值_x，样本方差2s和经验分布函数()nFx的公式，这里12mnnnn．解：记所有的观测值为12,,,nyyy，则由样本均值和样本方差定义知__1111____22211111(),11()(),11nmimmjjijnmijjijXynxnxnxnnnSyXnxXnn11121223()1231110,,/,,()/,,1(),()/,,1,.innxximmmmxxnnxxxnnnxxxFxIxxxnnnnxxxxx6.14设12(,,,)nxxx及12(,,,)nyyy为两组样本观测值，它们有如下线性关系iixayb（0b，a，b都为常数）．探讨样本平均值_y与_x，样本方差2ys与2xs之间的关系．解：____2221,.yxxaySSbb66.15切尾均值也是一个常用的反映样本数据平均水平的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值来计算样本均值．其计算公式是([]1)([])2)([])2[]nnnnxxxxnn其中01/2是切尾系数，(1)(2)()nxxx是有序样本．现我们在某高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：151412920417261518610161558取=1/16，试计算其切尾均值．解：12.14.6.16记__11nniiXXn，__2211()1nniniSXXn是样本12(,,,)nXXX的样本均值和样本方差，现又获得第n+1个观测值1nX．试证：（1）______111()1nnnnXXXXn；（2）__2221111()1nnnnnSSXXnn．证明略。6.17证明：容量为2的样本12,XX，样本方差为：22121()2SXX．证明：__2222212121212111()()()()1222niiXXXXSXXXXXXn。6.18设12(,,,)nXXX是来自参数为的泊松分布总体的样本，试求：（1）样本12(,,,)nXXX的联合分布；（2）__()EX，__()VarX和2()ES．解：（1）样本12(,,,)nXXX的联合分布率为111221(,,,),0,1,2,1,2,,,!njjxnnninjjepXxXxXxxinx（2）因为总体为()P，所以____2()(),(),.VarXEXEXVarXESnn6.19设12(,,,)nXXX是来自总体(0,)U的样本，试求：7（1）样本12(,,,)nXXX的联合分布；（2）__()EX，__()VarX和2()ES．解：（1）样本12(,,,)nXXX的联合分布为121,0(1,2,...,),(,,,)0,.innxinpxxx其它（2）因为总体为(0,)U，所以22____2()(),(),.21212VarXEXEXVarXESnn6.20设12(,,,)nXXX是来自总体2~(,)XN的样本，令11||niiDXn．试证：2()ED，22()(1)VarDn．证明略。6.21设总体X二阶距存在，12(,,,)nXXX是样本．证明：__iXX与__()jXXij的相关系数为1)1(n．对此你能够给予解释吗？证明略6.22设总体X的k阶原点距和中心距分别为()kkEX，[()]kkEXEX，1,2,3,4k存在，12(,,,)nXXX是样本．证明：（1）3__312EXn；（2）42__24212333EXnn．证明略。6.23设12(,,,)nXXX是来自总体X的样本，求样本均值__X的分布列．（1）总体为(,)Bmp；（2）总体为()P；8解：（1）__{}(1),0,1,,.njnjnmnjnmPXjCppjm（2）__(){},0,1,2.()!njnnPXjejnj6.24设12(,,,)nXXX是来自总体X的样本，求样本均值__X的分布密度函数．（1）总体为(,)Ga；（2）总体为2()m；解：（1）__~(,)XGann。（2）__~(,)22nmnXGa。6.25设12(,,,)nXXX是来自总体X的样本，求样本均值__X的渐近分布．（1）总体为(0,)U；（2）总体为(1,)B；解：（1））2__~(,)212XANn。（2）__(1)~(,)XANn。6.26设总体X密度函数为61,01pxxxx，129(,,,)XXX是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布．解：94495()3780(32)(12)(1),01pxxxxxx。6.27设总体X为韦布尔分布(,)Weim，其密度函数为：1;,expmmmmxxpxm，0,0,0xm．现从中得到样本12(,,,)nXXX，证明：(1)X仍服从韦布尔分布，并指出其参数．解：参数分别为,/mmn。6.28设12(,,,)nXXX是来自总体X的样本，总体X的分布函数和密度函数分别为()Fx，()px．证明样本极差()(1)nnRXX的分布密度函数为：2()(1)()()(()())nnRpxnnpzpxzFxzFzdz．当总体为指数分布Exp和均匀分布(0,1)U时，分别求出容量为n的样本极差nR的分布．9证明略。（1）当总体为指数分布Exp时，样本极差nR的分布密度为2()(1)(1),0.nrrnRprneer（2）当总体为指数分布(0,1)U时，样本极差nR的分布密度为2()(1)(1),01.nnRprnnrrr6.29对下列数据画出箱线图．472425447377341369412419400382366425399398423384418392372418374385439428429428