泛函分析复习与总结

1《泛函分析》复习与总结(2014年6月26日星期四10:20---11:50)第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间,函数空间,向量空间等,也包括空间的性质,例如完备性,紧性,线性性质,空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X称为是距离空间，如果对于,,xyzX(i)【非负性】(,)0xy，并且(,)0xy当且仅当xy【正定性】；(ii)【对称性】(,)(,)xyyx；(iii)【三角不等式】(,)(,)(,)xyxyyz。距离空间的典型代表：s空间、S空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。（2）赋范线性空间（线性空间+范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X称为是赋范线性空间，如果X是数域K¡（或K£）上的线性空间，对于aK和,xyX，成立(i)【非负性】||||0x，并且||||0x当且仅当0x【正定性】；(ii)【齐次性】||||||||||axax；(iii)【三角不等式】||||||||||||xyxy。2赋范线性空间的典型代表：n¡空间（1,2,3,nL）、n£空间（1,2,3,nL）、pl空间（1p）、([,])pLab空间（1p）、[,]Cab空间、[,]kCab空间、Banach空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。（3）内积空间（线性空间+内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X称为是内积空间，如果X是数域K¡（或K£）上的线性空间，对于aK和,,xyzX，成立(i)【非负性】(,)0xx，并且(,)0xx当且仅当0x【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(,)(,)(,)xyzxzxz；(iii)【第一变元齐次性】(,)(,)axzaxz；(iv)【共轭对称性】(,)(,)xzzx。内积空间的典型代表：n¡空间（1,2,3,nL）、n£空间（1,2,3,nL）、2l空间、2([,])Lab空间。注.1)从概念的外延来理解,有如下的关系:{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.2)内积可导出范数,范数可导出距离,反之未必.例如在赋范线性空间中,如果范数满足平行四边形公式,则由范数可以定义内积.3)在距离空间中，0kxx0(,)0kxx，当k；赋范线性空间中，||||0kxx0||||0kxx，当k；内积空间中，||||0kxx00(,)0kkxxxx，当k.重点.！要求会验证距离,范数和内积.3二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach空间；完备的内积性空间称为Hilbert空间.重点.验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注.距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性若AB,则称A在B中稠密.当AB时,也称A是B的稠密子集.关于A在B中稠密的等价命题:A在B中稠密yB,存在nxA,使得nxy;0,(,)xASxBU.（3）！可分性如果B有可数的稠密子集A,则称B具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间,可分的内积空间等.不具有可分性的空间B称为不可分空间.可分空间的典型代表：n¡空间（1,2,3,nL）、n£空间（1,2,3,nL）、pl空间（1p）、([,])pLab空间（1p）、[,]Cab空间、[,]kCab空间.不可分空间的典型代表：l空间、([,])Lab空间.重点.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.！不可分空间的证明方法:如果空间X中含有一个不可数子集A,且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数,则X是不可分的.（例如l中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全4体；([,])Lab中这样的集合是[,]at上的集特征函数全体）三空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a．n¡和n£或有限维赋范线性空间中：Weierstrass定理（有界集是列紧集）;b.！[,]Cab中：Arzela-Ascoli定理（一致有界且等度连续）；（4）内积空间中的正交集，！正交基.Parseval恒等式、Bessel不等式。（5）有限维赋范线性空间的性质：1.有界集即列紧集；2.有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。四具体的空间已经学过的具体空间有：n¡空间（1,2,3,nL）;n£空间（1,2,3,nL）;pl空间（1p）;([,])pLab空间（1p）;[,]Cab空间;[,]kCab空间。注.1.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、[,]Cab点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。52.！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass定理和[,]Cab空间中的Arzela-Ascoli定理）；3.！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（([,])pLab的完备性证明不作要求）4.会用Holder不等式、Minkowski不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；5.具体空间的共轭空间，仅限于要求掌握：！pl空间（1p）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；([,])pLab空间（1p）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；第二部分映射算子泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理,例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。一.泛函分析中的映射在泛函分析中,映射:TXY当,XY是空间时称为算子;当X是空间,Y是数域(YK¡或£)时称为泛函;当X是线性空间时,主要考虑线性算子:()TaxbyaTxbTy,,abK,,xyX;泛函分析中的非线性映射:1.*压缩映射:(,)(,)TxTyxy,其中[0,1).Banach不动点定理.62.*紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质).二.有界线性算子（1）(,)LXY是由X映射到Y的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当Y是Banach空间时(,)LXY也是Banach空间）；（2）有界线性算子列0{}(,)kkTLXY的收敛：算子列的按算子范数收敛：(,)||||0LXYkTT；算子列的强收敛：对于每一个xX，||||0()()YkTxTx；（参见Banach-Steinhaus定理，P59）（3）重要定理开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、！一致有界定理、！Banach-Steinhaus定理；闭图像定理、！范数等价性定理（P63引理1）；注.重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。（4）共轭算子*T共轭算子的定义（[*]():()TfxfTx）以及简单性质；重要实例：*以(,)Kst为核的积分算子的共轭算子、！左位移（右位移）算子的共轭算子。（5）具体的线性算子！以(,)Kst为核的积分算子；！由变上限积分所定义的算子；微分算子；！由pl到pl的左位移（右位移）算子.注.线性算子的有界性等价于连续性.7重点.要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。三.有界线性泛函（1）*X的概念和简单性质(*(,)XLXK).（2）**X的概念和简单性质:在等距同构（自然投射）的意义下X可以视为**X的子空间（**XX），当在等距同构意义下X与**X相等时，称为自反空间；（3）*X的实例：！pl空间（1p）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；([,])pLab空间（1p）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；（3）泛函列的收敛：设0{}*kkfX，kf按算子范数收敛于0f（称为强收敛）：*||||0Xkff；kf弱收敛于0f：对于每一个**FX：0()()kFfFf；kf弱*收敛于0f：对于每一个xX：0()()kfxfx。注.1.当X是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。2.对于泛函列的弱收敛，也有相应的Banach-Steinhaus定理。（4）点列的收敛：在赋范线性空间X中，设0{}kkxX，kx按范数收敛于0x（称为强收敛）：||||0Xkxx；kx弱收敛于0x：对于每一个*fX：0()()kfxfx；kf弱*收敛于0f：对于每一个xX：0()()kfxfx。在Hilbert空间H中，设0{}kkxH，kx按范数收敛于0x（也称为强收敛）：||||0Hkxx；kx弱收敛于0x等价于对于每一个yH，0(,)(,)kxyxy8（请参考Frechet-Riesz表示定理（P107定理3）未学，不要求）。（4）！泛函延拓定理及其推论注.泛函延拓定理及其推论是重点内容，但体现在定理的应用上。（5）*弱列紧性Alaoglu定理（P74）、Eberlein定理（P74定理9：自反空间的单位球是弱列紧的）请注意：“！”表示是本课程所考察的重点内容，须引起特别注意！“*”表示不是本课程的重点内容或必考内容.