专项汇编专题22之直角三角形的存在性

专题22直角三角形的存在性破解策略以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：ABABECFEFABC直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！例题讲解例1如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．xyCBAOl例2如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，xyBAFPOExyOPEBFA例3如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．C1BADOFEQC2Pxy例4如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，当BE＝2时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连结B′D，B'M，DM．问：是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．EB'MFGCDAB进阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA＝4，AB＝3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．yxMNABO2．如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx－3与双曲线y＝4x的两个交点为A，B．其中A（－1，a）．若M为x轴上的一个动点，且△AMB为直角三角形，求满足条件的点M的坐标．AxyBO3．如图，抛物线233384yxx=--+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的一个动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的表达式．OCBAyx4，如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点O（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连结AN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：①证明：∠ANM＝∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．yxOAMNPDl5．抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点为C，点A的坐标为（﹣1，4），其对称轴L上是否存在点M，使线段MA绕点M逆时针旋转90°得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．