大学物理答案第七章

P/()2bc1ad011.534V/L图7-2第七章热力学基础7-1假设火箭中的气体为单原子理想气体，温度为2000K，当气体离开喷口时，温度为1000K，（1）设气体原子质量为4个原子质量单位，求气体分子原来的方均根速率．已知一个原子质量单位=1.6605×10-27kg；（2）假设气体离开喷口时的流速（即分子定向运动速度）大小相等，均沿同一方向，求这速度的大小，已知气体总的能量不变．分析气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度．当气体的内能转化为定向运动的动能时，即表现为平均平动动能的减少，也就是温度的降低．解（1）由气体动理论的能量公式，得（2）气体总的能量不变，气体内能的减少应等于定向运动动能的增量，就气体分子而言，即分子的平均平动动能的减少应等于定向运动动能的增量．若分子定向运动速度为，则有7-2单原子理想气体从状态a经过程abcd到状态d，如图7-2所示．已知，，，，，（1）试计算气体在abcd过程中作的功，内能的变化和吸收的热量；（2）如果气体从状态d保持压强不变到a状态，如图中虚线所示，问以上三项计算变成多少？（3）若过程沿曲线从a到c状态，已知该过程吸热257cal，求该过程中气体所作的功．分析理想气体从体积膨胀到体积的过程中所作的功为，其量值为图上过程曲线下的面积．如果过程曲线下是规则的几何图形，通常可以直接计算面积获得该过程中气体所作的功．解（1）气体在abcd过程中作的功应等于过程曲线下的面积，得内能改变为应用热力学第一定律，系统吸热为（2）气体在等压过程da中作的功为内能改变为系统吸热为（3）若沿过程曲线从a到c状态，内能改变为应用热力学第一定律，系统所作的功为7-32mol的氮气从标准状态加热到373K，如果加热时（1）体积不变；（2）压强不变，问在这两种情况下气体吸热分别是多少？哪个过程吸热较多？为什么？分析根据热力学第一定律，系统从外界吸收的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于对外作功．理想气体的内能是温度的单值pp1ADp2CBOV1V2V图7-6函数，在常温和常压下氮气可视为理想气体，无论经过什么样的准静态过程从标准状态加热到373K，其内能的变化都相同．在等体过程中气体对外不作功，系统从外界吸收的热量，全部用于系统的内能的增加，而在等压过程中，除增加内能外，还要用于系统对外作功，因此吸热量要多些．解（1）氮气可视为双原子理想气体，．在等体过程中，系统吸热为（2）在等压过程中，系统吸热为7-410g氧在p=3×105Pa时温度为t=，等压地膨胀到10L，求（1）气体在此过程中吸收的热量；（2）内能的变化；（3）系统所作的功．分析气体在等压过程中吸收的热量为，其中已知，可以通过气体状态方程由已知的该状态的压强和体积求出．用同样的方法可以计算内能的变化．再应用热力学第一定律计算出系统所作的功．解（1）气体在等压过程中吸收的热量为（2）内能的变化为（3）应用热力学第一定律，系统所作的功为7-5双原子理想气体在等压膨胀过程中吸收了500cal的热量，试求在这个过程中气体所作的功．解双原子理想气体在等压膨胀过程中吸热为所作的功为7-6一定质量的氧气在状态A时V1=3L，p1=8.2×105Pa，在状态B时V2=4.5L，p2=6×105Pa，分别计算在如图7-6所示的两个过程中气体吸收的热量，完成的功和内能的改变：（1）经ACB过程；（2）经ADB过程．分析在热力学中，应该学会充分利用图分析和解题．从图7-6所示的图可以看出，AC和DB过程为等体过程，AD和CB过程为等压过程．理想气体的内能是温度的单值函数，在常温和常压下氧气可视为理想气体，只要始末状态相同，无论经过什么样的准静态过程，其内能的变化都相同．但是气体吸收的热量和完成的功则与过程有关，在等压过程中吸收的热量为，在等体过程中吸收的热量为，其中温度值可以利用状态方程代换为已知的压强和体积参量．解（1）经ACB过程，即经等体和等压过程，气体吸热为图7-7xhSh0O图7-10所作的功为应用热力学第一定律，系统内能改变为（2）经ADB过程，所作的功为系统内能改变为应用热力学第一定律，气体吸热为7-71g氮气在密封的容器中，容器上端为一活塞，如图7-7所示．求（1）把氮气的温度升高10°C所需要的热量；（2）温度升高10°C时，活塞升高了多少？已知活塞质量为1kg，横截面积为10cm2，外部压强为．分析可以上下自由运动的活塞加在气体上的压强为大气压与气体上表面单位面积上承受的活塞重力之和．利用理想气体状态方程，气体对外所作的功，也可以用温度的变化表示，即．解（1）因外部压强和活塞质量不变，系统经历等压过程，压强为（2）系统作功为则7-810g某种理想气体，等温地从V1膨胀到V2=2V1，作功575J，求在相同温度下该气体的．分析气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，而且定义了方均根速率．只要温度不变，无论经历什么样的过程，方均根速率都不变．本题中，可以通过等温过程中系统所作的功的表达式确定该过程中系统的温度．解等温过程中系统所作的功为7-92m3的气体等温地膨胀，压强从变到，求完成的功．解等温过程中系统所作的功为7-10在圆筒中的活塞下密闭空间中有空气，如图7-10所示．如果空气柱最初的高度h0=15cm，圆筒内外的压强最初均为，问如要将活塞提高h=10cm，需作多少功？已知活塞面积S=10cm2，活塞质量可以忽略不计，筒内温度保持不变．分析因筒内温度保持不变，这是一个等温过程．由于过程必须是准静态过程，则在过程进行中的任一时刻，系统都处于平衡状态．过程进行中，活塞受到向上的拉力，筒外空气向下的压力，筒内气柱向上的压力，在这些力的作用下处于平衡状态．由力的平衡条件，可以确定活塞向上位移外力所作的元功，并联系气体等温过程方程求解．pp331p124OV1V2V4V图7-11pp22p0等温线1p1OV2V1V图7-12解取圆筒底面为原点，竖直向上为x轴正向，如图7-10所示．设活塞位于x处时，筒内压强为p，筒内外的压强差为，在准静态过程中提高活塞所需的向上外力为，此时活塞向上位移外力所作的元功为因等温过程有，，则要将活塞提高h，需作的功为7-11今有温度为27°C，压强为，质量为2.8g的氮气，首先在等压的情况下加热，使体积增加一倍，其次在体积不变的情况下加热，使压强增加一倍，最后等温膨胀使压力降回到，（1）作出过程的p—V图；（2）求在三个过程中气体吸收的热量，所作的功和内能的改变．分析本题中涉及到三个等值过程，利用已导出的各等值过程中系统作功、吸热和内能变化表达式和热力学第一定律求解．解（1）过程的p—V图如图7-11所示．（2）1～2，等压过程2～3，等体过程，3～4，等温过程，7-12双原子气体V1=0.5L，，先绝热压缩到一定的体积V2和一定的压强p2，然后等容地冷却到原来的温度，且压强降到．（1）作出过程的p-V图；（2）求V2=？p2=？分析对于双原子理想气体，热容比．不论经历什么过程，只要初终态气体的温度相同，就可以应用理想气体状态方程，建立类似于等温过程中初态和终态压强和体积之间的关系．解（1）过程的p—V图如图7-12所示．（2）因初态和终态温度相同，应用理想气体状态方程，有由绝热过程方程，得7-13推证质量为m，摩尔质量为M的理想气体，由初状态（p1、V1、T1）绝热膨胀到p2、V2时气体所作的功为分析证对于绝热过程，有7-1432g氧气处于标准状态，后分别经下二过程被压缩至5.6×10-3m3，（1）等温压缩；（2）绝热压缩，试在同一个p-V图上作出两过程曲线，并分别计算两过程最终的温度以及所需要的外功．分析32g氧气恰好为1mol，标准状态下体积和温度都有确定值．p绝热线等温线p1OV2V1V图7-14pp1等温线绝热线OV1V2V图7-15p/()A31BO13V/L图7-16解两过程的p—V图如图7-14所示．（1）32g氧气为1mol，体积为，温度为，且等温压缩过程，所作的功为（2）绝热压缩过程，得利用上题结果，绝热压缩过程所作的功为7-15体积为V1=1L的双原子理想气体，压强p1=，使之在下述条件下膨胀到V2=2L，（1）等温膨胀；（2）绝热膨胀，试在同一p-V图中作出两过程曲线，并分别计算两种情况下气体吸收的热量，所作的功及内能的变化．分析等温过程中气体内能不变，所吸收的热量等于对外所作的功；绝热过程中气体吸热为零，对外所作的功等于内能的减少．解两过程的p—V图如图7-15所示．（1）等温膨胀（2）绝热膨胀7-160.1mol单原子理想气体，由状态A经直线AB所表示的过程到状态B，如图7-16所示，已知VA=1L，VB=3L，pA=，pB=。（1）试证A、B两状态的温度相等；（2）求AB过程中气体吸收的热量；（3）求在AB过程中温度最高的状态C的体积和压强；（提示：写出T=T(V)）；（4）由（3）的结果分析从A到B的过程中温度变化的情况，从A到C吸热还是放热？证明QCB=0，能否由此说从C到B的每个微小过程都有dQ=0？分析不论经历什么过程，只要初终态气体压强和体积的乘积相等，应用理想气体状态方程可知其温度相同．在p—V图上等温曲线是双曲线，因此在直线AB上必然有一个温度最高的点C．用数学中求极值的方法，可确定该点位置．解（1）根据已知条件，有即　　　　　　　　　　　　　　应用理想气体状态方程，得　　　（2）由于，得，因此AB过程中气体吸收的热量等于此过程中所作的功，等于过程曲线下的面积，即（3）在AB过程中任一状态的压强p、体积V满足直线方程pp1BCDp0AEOV0V1V2V图7-17pp1ABp0COV1V2V图7-18则（1）对于温度最高的状态C，有，得（4）由于，（1）式表明T是V的二次函数，状态C温度最高，在AC过程中温度升高，在CB过程中温度降低．，，，则　　　　　　　　　　　从C到B不是绝热过程，因此每个微小过程有时大于零，有时小于零．7-17一热机以理想水蒸汽作为工作物质，如图7-17所示，其循环包括以下几个过程：（1）进汽阀打开，锅炉与气缸接通，蒸汽进入气缸最初瞬间活塞不动，气缸内蒸汽体积V0不变，压强迅速地从p0升高到p1（即）；随着蒸汽继续输入，蒸汽等压地推动活塞，体积由V0增加到V1（即）；（2）进汽阀关闭，气缸内蒸汽绝热膨胀至体积为V2（即）；（3）排汽阀打开，气缸与冷凝器接通，开始排气，在此瞬间缸内蒸汽体积V2不变，而压强迅速降到p0（即）；接着活塞在飞轮带动下回移，气缸内蒸汽继续排出，压强p0不变，体积由V2变至V0（即），然后排汽阀关闭，完成一次循环．试写出气体在一个循环中作功的表示式．假设V0=0.5L，V1=1.5L，V2=3.0L，p0=，p1=，=1.33，计算一个循环的功（可利用题7-13的结果）．分析从理论上讨论循环过程及其效率，要求系统经过一系列状态变化过程后又回到原来的状态．但是，实际热机的工作物质不是恒定的，一般都有吸入和排放过程，因此也不可能使系统还原到原来的状态．不过，为了获得热机工作过程的基本概念和热机效率的量级，可以假定工作物质不变，并将各过程都视为准静态过程，分析计算各过程中系统内能的变化，对外作的功和吸放热情况，并求循环的效率．解BC和EA为等压过程，CD为绝热过程，则有7-181mol双原子理想气体，原来压强为，体积为20L，首先等压地膨胀到原体积的2倍，然后等容冷却到原温度，最后等温压缩到初状态，（1）作出循环的p-V图；（2）求工作物质在各过程所作的功；（3）计算循环的效率．分析理论上讨论的循环过程一般是由各等值过程或绝热过程组成的，各过程中系统可能对外作功，也可能是外界对系统作功（系统对外作负功）；系统可能pp1b　　　　　　　绝热线p2acOV2V1V图7-19p12绝热线等温线3O46.3V/L图7-20p吸收热量，也可能向外界放出热量．热机循环效率的表达式为其中，系统对外所作的总功是各过程系统对外作功的代数和，是各吸热过程中吸收热量的总和，是各放热过程中放