浅谈初中数学教学中的变式教学

浅谈初中数学教学中的变式教学内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。新课程背景下充分运用变式教学，可拓展学生的思维．促使学生自觉将数学学习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。关键词：初中数学；变式教学；变式原则；有效教学《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。一、数学变式教学的本质含义数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现类别初中数学新课程三维教学目标的重要途径。二、变式教学中遵循的几个原则2.1一题多解，触类旁通通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。【案例1】如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？（只剩一个底角和一条底边）学生给出的三种“补出”方法：①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；③“对折”。看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。学生总结出该题的三种常规的办法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”不能证明两种创造性的证法：④假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”2.2一题多变，横向联想通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。【案例2】如左图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？变式1将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？变式2一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.52m，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）图（1）图（2）DPEFHGBCAAPDMQCBENNEBCQMDPAADFCBE变式3已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如图所示，把边长分别为1x,2x,3x,…nx的n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长1x=；第n个正方形的边长nx=(用含n的式子表示，n≥1)。变式4在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.（1）如图（1），四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。（2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。（3）如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。图（1）图（2）图（3）2.3一题多导，创设情境对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。【案例3】在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。（1）如图①，若半径为1r的⊙1O是Rt△ABC的内切圆，求1r。（2）如图②，若半径为2r的两个等圆⊙1O、⊙2O外切，且⊙1O与AC、GFEDBCAKHGFEDACBACBABCx3x2x1AB相切，⊙2O与BC、AB相切，求2r。（3）如图③，当n大于2的正整数时，若半径nr的n个等圆⊙1O、⊙2O、…、⊙On依次外切，且⊙1O与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙1O、⊙2O、⊙3O、…、⊙1On均与AB边相切，求nr.图①图②图③通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。变式有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？2.4多题一解，异中求同由问题的条件或结论的外形结构，联想到与其形式类似的有关题型，从而获得转化桥梁，打开解题思路。【案例4】如图1，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。求这个矩形零件的长与宽。O3ACBO1O2O2O1BCA图1图2变式1如图2，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。（1）求这个矩形的周长；（2）求这个矩形的面积；（3）求△APQ的面积。变式2如图3，一块铁皮呈三角形，∠BAC=90°，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PS、BS、CR之间有何关系？为什么？图3图4变式3如图4，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。求这个矩形面积的最大值。三、变式教学要把握好三个“度”3.1变式的数量要“适度”变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。因此，数学变式要正确把握变式的度，适度进行，适可而止。3.2变式的内容与难度要有“梯度”变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，BPSDERQCAACQREDSPBBCPQRSA1BPSDERQCA具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。【案例5】如左图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度。变式1如右图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？变式2已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个等腰直角三角形的直角边长为多少？变式3已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n个等腰直角三角形的面积为多少？3.3变式教学要提高学生的“参与度”设计问题变式要注重一个“变”，不能简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，让每一个学生都能够参与到数学思考中来。【案例6】如图1，在直线3604yx与x轴、y轴所围成的△AOB中，依次放入腰长分别为1x,2x,3x,…nx的n个等腰直角三角形，则1x=，nx=。（或：求1A,2A,3A,…nA的横坐标。）5()1()2()3()4()3()4()2()1()BAB1B2B3OA1A2A3YXXYA3A2A1OB3B2B1AB图1图2变式1如图2，在直线3604yx与x轴、y轴所围成的△AOB中，依次放入边长分别为1x,2x,3x,…nx的n个等边三角形，试猜想第n个等边三角形的边长。变式2二次函数223yx的图象如图所示，点0A位于坐标原点，点1A,2A,3A,…2008A在y轴上，点1B,2B,3B,…，2008B在所给二次函数位于第一象限的图象上。若△011ABA,△122ABA,△233ABA,…，△200720082008ABA为等边三角形，则△200720082008ABA的边长=。设计数学变式问题要内涵丰富，境界开阔，给学生留下足够的思维空间。因此，所选范例必须具有典型性。一要注意知识之间的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性和深刻性。四、数学变式教学的价值变式教学是中国基础教育中的精华，值得我们去传承；变式教学是一种十分重要的教学思想，值得我们去钻研；变式教学是经实践证明的有效教学模式，值得我们去实践。结束语在教学中，我们既要有强烈的变式意识，娴熟的变式方法，更要遵循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容。如果我们能够把握变式教学和变式训练的正确方法和尺度，在数学教学中恰当使用变式教学和变式训练，不仅能够帮助学生从“题海战役”中解放出来，还对培养学生创造性思维，激发学生学习数学的兴趣，将起到比较积极的作用。相信大家一定可以取得理想的教学效果。参考文献：[1]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学.江苏教育出版社，2005.[2]张奠宙.中国数学双基教学.上海教育出版社，2006.[3]许灵飞.变式教学在初中数学教学中的应用.数学学习与研究，2010.3[4]郑毓信.变式理论的必要发展.中学数学月刊,2006(1).[5]张奠宙,守乃庆.数学教育概论.北京:高等教育出版社,2004