中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析

中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析一.考点回顾最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值。此类问题涉及的知识要点有以下方面:1.两点之间间线段最短；2.垂线段最短；3.三角形的三边关系；4.定圆中的所有弦中，直径最长；5.圆外一点与圆的最近点、最远点；6.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题。命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查。二.例题分析由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法。解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。题型一:添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决1.（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是_____．【解析】如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，得到DM＝EF，DM∥EF，根据平行四边形的性质得到DE＝FM，求得DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，根据勾股定理可求得BM＝19，所以DE+BF的最小值为19．题型二:利用轴对称求最短路线问题此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是将军饮马模型问题。2.（2019春•温州期中）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝17，BC＝7，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF．则△OEF周长的最小值是______．解题策略：1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．题型三:利用垂线段最短求线段最小值问题3-1.（2019春•陆川县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．2.4B．3.6C．4.8D．5【解答】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：AC·BC/AB＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．3-2.（2019•临颍县一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD＝120°，菱形ABCD的周长为24，则OE的最小值等于（）【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用垂线段最短求出相关线段的最小值。题型四:三角形的三边关系-线段之差最大问题类型4-1．（2019•东台市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．4-2．（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是_______．解题策略：结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.题型五:圆的有关最值5-1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值为6．故选：D．解题策略：1.描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2.综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化.5-2.（2019•日照一模）如图，已知直线y＝3x/4-3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值是（）A．6B．5.5C．5D．4.5题型六:构建变量表达式，利用配方法求最值6-1.（2019•泸县模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，且∠B＝∠ADE＝∠DAC，如果△ABC，△EBD，△ADC的周长分别记为m，m1，m2，则的最大值是_____．题型七:利用二次函数的性质求最值问题值7-1.（2019•合肥模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）A．3B．6C．6√2D．3√5【解答】如图，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，7-2．（2019•宁德一模）如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB＝4，则点G到AD距离的最大值是______．解题策略：此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值。题型八:觅动点轨迹，确定最值8-1.（2019•宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC＝6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN＝PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是_____8-2．（2019•天宁区校级模拟）如图，BC＝3，⊙B的半径为1，A为⊙B的上动点，连接AC，在AC上方作一个等边三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为（）A．4B.5C．2√5D．32+1【解答】以BC为边在BC上方构造等边△BCE，连接DE、BD．∵∠ACB＝60°﹣∠ECA，∠DCE＝60°﹣∠ECA，∴∠ACB＝∠DCE．又AC＝DC，BC＝EC，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE＝AB＝1．∴点D运动轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆，当B、E、D三点共线（D点在BE的延长线上）时，BD最大为3+1＝4．故选：A．