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[小题热身]1.函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析:由x+10x-10知x1,定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.答案:C2.下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=ex+e-x2C.y=xsinxD.y=log23-x3+x解析:依题意,对于选项A,注意到当x=-1时,y=2;当x=1时,y=4,因此函数y=x3+3x2不是奇函数.对于选项B,注意到当x=0时,y=1≠0,因此函数y=ex+e-x2不是奇函数.对于选项C,注意到当x=-π2时,y=π2;当x=π2时,y=π2,因此函数y=xsinx不是奇函数.对于选项D,由3-x3+x0得-3x3,即函数y=log23-x3+x的定义域是(-3,3),该数集是关于原点对称的集合,且log23--x3+-x+log23-x3+x=log21=0,即有log23--x3+-x=-log23-x3+x,因此函数y=log23-x3+x是奇函数.综上所述,选D.答案:D3.已知f(x)在R上满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2017)=()A.-2B.2C.-98D.98解析:由f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2017)=f(504×4+1)=f(1)=2.答案:B4.(2017·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-2)=()A.-12B.12C.2D.-2解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=log22=12,故选B.答案:B5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=13.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=13.答案:136.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1fx,若f(1)=-5,则f(f(5))=________.解析:f(x+2)=1fx,∴f(x+4)=1fx+2=f(x),∴f(5)=f(1)=-5,∴f(f(5))=f(-5)=f(3)=1f1=-15.答案:-15[知识重温]一、必记3●个知识点1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内①________x都有②________,那么函数f(x)是偶函数关于③________对称奇函数如果函数f(x)的定义域内④________x都有⑤________,那么函数f(x)是奇函数关于⑥________对称任意一个f(-x)=f(x)y轴任意一个f(-x)=-f(x)原点2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦________,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________,两个奇函数的积函数是⑩________.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.(3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=⑬________.相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数03.函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=⑭________,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮______________的正数,那么这个⑯___________就叫做f(x)的最小正周期.(3)常见结论:若f(x+a)=-f(x),则T=2a;若f(x+a)=1fx,则T=2a;若f(x+a)=-1fx,则T=2a.(4)若f(x)为奇函数且周期为T,则f(T2)=0.f(x)存在一个最小最小正数二、必明2●个易误点1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件.2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0).考向一函数奇偶性的判定[自主练透型][例1]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-x2+x2-1;(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=1-x2|x+2|-2;(4)f(x)=x2+x,x0,x2-x,x0.[解析](1)∵由x2-1≥0,1-x2≥0,得x=±1,∴f(x)的定义域为{-1,1}.又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.(3)由1-x2≥0,|x+2|-2≠0,得-1≤x≤1,x≠0且x≠-4.故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+20.从而有f(x)=1-x2x+2-2=1-x2x,这时有f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x),故f(x)为奇函数.(4)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又当x0时,f(x)=x2+x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.——[悟·技法]——判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区域,再判断f(-x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(-x)是否等于零,或判断fxf-x(f(x)≠0)是否等于±1等.(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域).——[通·一类]——1.判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1)1+x1-x;(2)f(x)=lg1-x2|x2-2|-2;(3)f(x)=x2+xx0,0x=0,-x2+xx0.解析:(1)由1+x1-x≥0得函数的定义域为[-1,1),关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数.(2)由1-x20,|x2-2|-2≠0得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),所以f(x)=lg1-x2-x2-2-2=-lg1-x2x2.因为f(-x)=-lg[1--x2]-x2=-lg1-x2x2=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)当x0时,-x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),当x=0时,f(x)=0综上可得,函数为奇函数.考向二函数周期性的应用[互动讲练型][例2](2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(1)=________.[解析]因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,f(-1)=f(-1+2)=f(1).所以f(1)=0,f(-52)=f(-12-2)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,所以f(-52)+f(1)=-2.[答案]-2——[悟·技法]——函数周期性的判定与应用(1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.——[通·一类]——2.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析:函数f(x)=x-[x]在R上的图象如下图:答案:D3.(2017·广东揭阳一模)已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=lg(x+1),则f(20165)+lg18=________.解析:由函数f(x)是周期为2的奇函数得f(20165)=f(65)=f(-45)=-f(45)=-lg95=lg59,故f(20165)+lg18=lg59+lg18=lg10=1.答案:1考向三函数奇偶性的应用[互动讲练型][例3](1)函数f(x)=x+2x+ax是奇函数,则实数a=________;(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实数t满足f(lnt)+fln1t2f(1)时,那么t的取值范围是________.[解析](1)函数的定义域为{x|x≠0},f(x)=x2+a+2x+2ax=x+2ax+a+2.因函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即-x-2ax+a+2=-(x+2ax+a+2)=-x-2ax-(a+2),则a+2=-(a+2),即a+2=0,则a=-2.(2)因为函数f(x)是偶函数,所以f(ln1t)=f(-lnt)=f(lnt)=f(|lnt|).则有f(lnt)+f(ln1t)2f(1)⇒2f(lnt)2f(1)⇒f(|lnt|)f(1)⇒|lnt|1⇒1ete.[答案](1)-2(2)1e,e——[悟·技法]——函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.(3)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性.——[通·一类]——4.(2017·重庆高考适应性测试一)若函数f(x)=2x+a·2-x为奇函数,则实数a=________.解析:依题意得f(0)=1+a=0,所以a=-1.答案:-15.(2017·新疆乌鲁木齐二诊)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足f(2x-1)f(13)的x的取值范围是()A.(13,23)B.[13,23)C.(12,23)D.[12,23)解析:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|),∴f(|2x-1|)f(13),再根据f(x)的单调性,得|2x-1|13,解得13x23,故选A.答案:A考向四函数性质的综合应用[分层深化型][例4](1)(2016·山东卷,理)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2(2)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)f(2),则x的取值范围是()A.1100,1B.0,1100∪(1,+∞)C.1100,100D.(0,1)∪(100,+∞)[解析](1)
本文标题:函数的奇偶性与周期性-(共50张PPT)
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