黄金分割法-进退法-原理及流程图

1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。（2）黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1，a2把[a,b]分为三段。如果f(a1)f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)f(a2)，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图１所示，（3）程序流程如下：4实验所编程序框图否开始给定a=-3,b=5,收敛精度ε=0.001r=0.618a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)y1=y2a=a1a1=a2y1=y2b=a2a2=a1y2=y1a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)｜(b-a)/b｜ε和｜（y2-y1）/y2｜ε?a*=(a+b)/2结束是否是#include《math.h》#include《stdio.h》#definef(x)x*x+2*xdoublecalc(double*a,double*b,doublee,int*n){doublex1,x2,s;if(fabs(*b-*a)=e)s=f((*b+*a)/2);else{x1=*b-0.618*(*b-*a);x2=*a+0.618*(*b-*a);if(f(x1)f(x2))*a=x1;else*b=x2;*n=*n+1;s=calc(a,b,e,n);}returns;}main(){doubles,a,b,e;intn=0;scanf(%lf%lf%lf,&a,&b,&e);s=calc(&a,&b,e,&n);printf(a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n,a,b,s,n);}5程序运行结果如下图：2进退法（1）算法原理进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()fx为单谷函数（只有一个极值点），且[,]ab为其极小值点的一个搜索区间，对于任意12,[,]xxab，如果12fxfx，则2[,]ax为极小值的搜索区间，如果12fxfx，则1[,]xb为极小值的搜索区间。因此，在给定初始点0x，及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算0fxh。（1）如果00fxfxh则可知搜索区间为0[,]xxh，其中x待求，为确定x，后退一步计算0()fxh，为缩小系数，且01，直接找到合适的*，使得*00()fxhfx，从而确定搜索区间*00[,]xhxh。（2）如果00fxfxh则可知搜索区间为0[,]xx，其中x待求，为确定x，前进一步计算0()fxh，为放大系数，且1，知道找到合适的*，使得*00()fxhfxh，从而确定搜索区间*00[,]xxh。进退法求极值基本思想：对f(x)任选一个初始点x1及初始步长h0，通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高—低—高”形态。算法原理1.试探搜索：选定初始点x1,x2=x1+h0，计算y1＝f(x1)，y2＝f(x2)（a）如y1y2,转2向右前进；（b）如y1y2,转3向左后退；图8.12.前进搜索加大步长h＝2h，产生新点x3=x2+2h0；（a）如y2y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a=x1，b=x3搜索区间为[a，b]；(b)如y2y3，令x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2y3。图8.23.后退搜索令h＝-h0，令x3=x1，y3=y1；x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h；产生新点x3=x2+h；（a）如y2y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a=x3，b=x1，搜索区间为[a，b]（b）如y2y3，令x1=x2，y1=y2；x2=x3，y2=y3；h=2h重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2y3。令a=x1，b=x3，搜索区间为[a，b]；图8.3（2）算法步骤用进退法求一维无约束问题min(),fxxR的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：（1）给定初始点(0)x，初始步长0h，令0hh，(1)(0)xx，0k；（2）令(4)(1)xxh，置1kk；（3）若(4)(1)fxfx，则转步骤（4），否则转步骤（5）；（4）令(2)(1)(1)(4),xxxx，(2)(1)fxfx，(1)(4)fxfx，令2hh，转步骤（2）；（5）若1k，则转步骤（6）否则转步骤（7）；（6）令hh，(2)(4)xx，(2)(4)fxfx，转步骤（2）；（7）令(3)(2)(2)(1)(1)(4),,xxxxxx，停止计算，极小值点包含于区间(1)(3)(3)(1)[,][,]xxxx或（3）算法的MATLAB实现在MATLAB中编程实现的进退函数为：minJT功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：[min,max]min(,0,0,)xxJTfxheps其中，f：目标函数；0x：初始点；0h：初始步长；eps：精度；minx：目标函数取包含极值的区间左端点；maxx：目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB程序代码如下：function[minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h0;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:maxx;formatlong;ifnargin==3eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while1x4=x1+h;%试探步k=k+1;f4=subs(f,findsym(f),x4);f1=subs(f,findsym(f),x1);iff4f1x2=x1;x1=x4;f2=f1;f1=f4;h=2*h;%加大步长elseifk==1h=-h;%反向搜索x2=x4;f2=f4;elsex3=x2;x2=x1;x1=x4;break;endendendminx=min(x1,x3);maxx=x1+x3-minx;formatshort;流程图如下：