2019北京中考专题复习--圆综合

你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page1of16知识框架1．三个定理．圆周角定理；垂径定理；切线的性质和判定定理2．两种题型．一问证（用）切线；二问求线段长（勾股定理、三角函数、相似）3．四大隐藏．同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是90°；圆心是中点；半径出等腰．知识梳理1．1圆周角定理及推论a．同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半b．同弧或等弧所对的圆周角相等c．直径所对圆周角是90°d．圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例：如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.圆综合DCBAO你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page2of161．2垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧推论1：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的两条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理相关计算（中点或垂直条件）模型．做垂直，连半径，勾股列方程核心．构建可解得直角三角形例：如图，⊙O半径为5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，求AB和CD的距离．你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page3of161．3切线定理切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。两个条件：过切点、垂直半径，二者缺一不可例：已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．线长定理．从圆外一点引的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是两条切线∴PAPB=；PO平分BPA∠补充：弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。切割线定理：在圆⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A，则PT2＝PA·PB切割线推论：在圆⊙O中，PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C。则PA·PB＝PC·PD你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page4of162．两种题型2．1证（用）切线见切点连半（直）径，注意角的等量代换。2．2求线段长构建辅助线或线段延长线所在的直角三角形，解直角三角形。观察相关相似模型典例精讲圆的证明（证切线倒角垂径定理等）1.如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC（1）求证：DE是⊙O的切线2．（2015•朝阳区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证．∠BAD=∠DAE；3．（2016•东城区二模）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证．∠ABC=2∠CAF；BODCEA你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page5of16圆中的计算与相似结合常见相似模型1、平行A字、8字型：若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.2、射影定理：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．AC²=AD·ABBC²=BD·ABCD²=AD·BD3、共享型相似（母子型）：若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABCAC²=AD·AB例：如图，AB为圆O的直径，直线BMAB⊥于点B.点C在O!上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D.CF为O!的切线交BM于点F.（1）求证：CFDF=；（2）连接OF，若10AB=，6BC=，求线段OF的长。AABCBCDEDEABCDADCB你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page6of16圆中的计算与解直角三角形（勾股定理、射影定理、三角函数）结合圆中构成垂直的几种情况：1、直径所对的圆周角是90°2、垂径定理3、切线的性质4、其他已知条件例：24．（5分）（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page7of16千锤百炼（海淀24）24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．（昌平24）24．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tanD=34，求AE的长. DBECFOAOFEBCDA你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page8of16（通州）22.如图，ABC△是等腰三角形，ACAB=，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DEAB⊥，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，1BE=，求cosA的值．(丰台)24．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CDAC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.OABCDHFE你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page9of16（怀柔）22.如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．(1)求证：AB=BN；(2)若⊙O半径的长为3，cosB=52，求MA的长．（平谷）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）AC=2，AB=6，求BE的长．NCDAOBMEODABC你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page10of16（燕山）（东城）你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page11of16（大兴）24.已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B重合），.∠=∠CADB（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F,且EF=4,AD=6,求BD的长．（朝阳） 你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page12of16（密云）24. 如图，AB是O!的直径，C、D是O!上两点，ACBC=.过点B作O!的切线l，连接AC并延长交l于点E，连接AD并延长交l于点F. （1）求证：AC=CE.（2）若82AE=，3sin5BAF∠=求DF长. （门头沟）24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=2，4tan3B=，求⊙O的半径．lDCFEOBAFDACEOB你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page13of16(顺义)26．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若tan∠BDE=12,CF=3，求DF的长． 1.如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求⊙O直径的长2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC.过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE=2∠EBD（2）如果AB=5，55sin=∠EBD，求BD的长BODCEACOAB你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page14of163.如图，AB是⊙O的弦，半径OEAB^，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F（1）求证：PC=PF（2）连接OB，BC，若//OBPC，32BC=，3tan4P=，求FB的长4.如图，AB是O!的直径，过点B作O!的切线BM，点A，C，D分别为O!的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F.（1）求证：//CDBM（2）连接OE，若DE=m，求△OBE的周长5.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点（1）求证：CF是⊙O的切线（2）当185BD=，3sin5F=时，求OF的长OMFEDCBAEFAOBCDPADCBEO你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page15of166.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E(1)求证：AC平分∠DAB(2)若AB＝10，sin∠CAB＝25，请写出求DE长的思路7.如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO（1）求证：AO∥BE（2）若2=DE，tan∠BEO=2，求DO的长EDCBOADBEMOFCADBEMOFCA你的态度决定你的能力圆综合·专题精讲Page16of168.如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA=∠ADC(1)求证：PD是⊙O的切线(2)若AC=3，4tan3PDC∠=，求BC的长9.如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB=90°，⊙O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F（1）求证：DE=DF（2）当BC=3，sinA=35时，求AE的长CAEFOBD