平行四边形常用的证明方法

-1-平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF,∴△BAE≌△DCF,∴AE=CF,BE=DF,∵AD=BC,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在□ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∵∠ADC=∠ABC，∴∠EAD=∠BCF，∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB，即∠EAF=∠ECF，∵∠EAD=∠BCF，∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB，∴∠E=∠F，∴四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，□AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∠FCA=∠CAE，∵∠DOC=∠AOB，∴△AOB≌△COD，∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD．求证：四边形AMCN是平行四形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD，∴AM∥CN，AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵A、D、C在一条直线上，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=900，∴四边形ADCE是矩形-2-(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形证明：∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，∴∠PBE=∠ABE=0.5∠ABP，∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC，∵∠ABP+∠ABC=900，∴∠ABE+∠ABD=∠PBE+∠DBC=0.5×1800，∴∠EBD=900，∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=900，∠ADB=900，∴∠EBD=∠AEB=∠ADB=900，∴四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AO=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。求证：四边形BDEF是菱形证明：∵D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，∴AF=BF，AE=CF，BD=CD，∴EF∥BD，ED∥BF，∴四边形BDEF是平行四边形，∵AB＝BC，∴BF=BD，∴四边形BDEF是菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形例题：如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF，求证：四边形AEFG为菱形证明：∵BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，∴AG=FG，∵AG=FG，BG=BG，∴Rt△AGB≌Rt△FGB（HL），∴AB=BF，∵AB=BF，BE=BE，∠ABG=∠FBG，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∵∠FBG+∠DEB=900，∠GEA=∠DEB，∴∠FBG+∠GEA=900，∵∠ABG+∠AGB=900，∠ABG=∠FBG，∴∠AGB=∠AEG，∴AG=AE，∴AG=AE=FG=EF，∴四边形AEFG为菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题：如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，EF经过O点且垂直于AC．求证：四边形AFCE是菱形证明：如图，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO=OC，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△AEO≌△CFO，∴OF=OE，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形4.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形例题：如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.求证：四边形DEBF是正方形-3-证明：∵∠ABC=90°,DE⊥AB,DF⊥BC，∴四边形EBFD是矩形，∵BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC，∴DE=DF，∴四边形DEBF是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形例题：如图，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH为正方形证明：∵AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA，∴BF=CG=DH=AE,∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形，∵△EBF≌△FCG，∴∠BEF=∠GFC，∵∠BEF+∠BFE=900，∴∠GFC+∠BFE=900，∴∠EFG=900，∴四边形EFGH为正方形二面积证法例题：如图，□ABCD中M是DA延长线上一点，连接MB，MC，且MC交AB与N，连结DN，试说明三角形BMN与三角形AND面积相等证明：∵△CDN与□ABCD等底等高（都以CD作底），∴S△CDN=0.5S□ABCD，∴S△AND+S△CBN=0.5S□ABCD，又∵△MBC与□ABCD等底等高（都以BC作底）∴S△MBC=0.5S□ABCD，∴S△NBC+S△MNB=0.5S□ABCD，∴S△NBC+S△MNB=S△AND+S△CBN，∴S△AND=S△MNB，∴三角形BMN与三角形AND面积相等例题：如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）AS1=S3BS1+S3=S2+S4CS3-S1=S2-S4DS1×S3=S2×S4解：如图，做PQ⊥AB于Q，交CD于P，交EF于R，∵s1=AG·RQ，s2=BG·RQ，s3=RF·PR，s4=ER·PR，又∵AG=ER，GB=RF，∴s1·s3=AG·RQ·RF·PR=ER·RQ·GB·PR=GB·RQ·ER·PR=s2·s4，∴选D例题：如图，点P为□ABCD内一点，S△APB／S□ABCD=2／5，求S△PCD／S□ABCD解：过点P做EF⊥CD于点F，交AB于E，∵S△ABP=0.5·AB·EP,S□ABCD=AB·EF,又∵S△ABP／S□ABCD=2／5,∴EP／EF=4／5,∴EP=4EF／5,∴PF=EF／5,∴S△PCD=0.5CD·PF=0.5CD·EF／5=CD·EF／10=S□ABCD／10,∴S△PCD／S□ABCD=1／10-4-练习：1.如图，□ABCD中，EF过AC的中点O，与AD、BC分别相交于E、F．证明：四边形AECF是平行四边形2.如图，点O是□ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形．求证：OE与AD互相平分3.如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形4.已知□ABCD中，M是边AB的中点，且BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形5.如图，过□ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形7.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形8.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形9.如图，△ABC为等边△，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）D在BC上移动到何处时，∠DEF=30°10.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论;○3当∠ACB满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并证明你的结论11.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数12.如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，请说明OE＝OF；对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由